Răspuns:
[tex](a) \boldsymbol{ \red{36\sqrt{3} \ cm^2}}, \ (b) \boldsymbol{ \red{216 \ cm^3}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
VABCD este piramidă patrulateră regulată, VB = AB = 6 cm
a) VA = VB = AB ⇒ triunghiul VAB este echilateral ⇒ apotema piramidei este înălțimea triunghiului echilateral. Fie VM⊥AB, M∈AB
[tex]VM = \dfrac{AB\sqrt{3} }{2} = \dfrac{6\sqrt{3} }{2} = 3\sqrt{3} \ cm\\[/tex]
Aria laterală a piramidei:
[tex]\mathcal{A}_{\ell} = \dfrac{\mathcal{P}_{b} \cdot a_{p}}{2} = \dfrac{4AB \cdot VM}{2} = \dfrac{4 \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = \bf 36\sqrt{3} \ cm^2\\[/tex]
b) Fie O centrul bazei ABCD ⇒ OM este apotema bazei ⇒ OM = AB:2 = 6:2 = 3 cm. Aflăm înălțimea VO a piramidei din ΔVOM:
[tex]VO = \sqrt{VM^2 - OM^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 - 3^2} = 3\sqrt{2} \ cm\\[/tex]
Volumul piramidei VABCD:
[tex]\mathcal{V} = \dfrac{\mathcal{A}_{b} \cdot h}{3} = \dfrac{AB^2 \cdot VO}{3} = \dfrac{6^2 \cdot (3\sqrt{2} )^2}{3} = \bf 216 \ cm^3\\[/tex]
✍ Reținem:
Piramida patrulateră regulată este o piramidă cu baza pătrat și muchiile laterale congruente (fețele laterale sunt triunghiuri isoscele.
Formule:
[tex]\boxed{\boldsymbol{\mathcal{V} = \dfrac{\mathcal{A}_{b} \cdot h}{3} \ \ \ \ \ \mathcal{A}_{\ell} = \dfrac{\mathcal{P}_{b} \cdot a_{p}}{2} \ \ \ \ \ \mathcal{A}_{b} = \ell^{2} \ \ \ \ \ \mathcal{A}_{t} = \mathcal{A}_{\ell} + \mathcal{A}_{b}}}[/tex]
