Punctul a)
Aducem funcția de gradul II la forma ei standard.
[tex] f(x)= (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) \\ = x^2 -bx-ax +ab + x^2 -cx-bx+bc +x^2-ax-cx +ac \\ = 3x^2 -x(2a+2b+2c)+ab+bc+ac [/tex]
Dacă graficul funcției intersectează Ox înseamnă că ecuația f(x)=0 are cel puțin o soluție , adică se pune condiția [tex] \Delta \ge 0 [/tex]
[tex] \Delta = b^2 -4ac \\ = (2a+2b+2c)^2 -12(ab+bc+ac) \\ = 4(a+b+c)^2-12ab-12bc-12ac [/tex]
Folosind formula [tex] (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab+ 2bc + 2ac [/tex] se obține:
[tex] \Delta = 4a^2+4b^2+4c^2 -4ab -4bc-4ac \\ = (2a-b-c)^2+3(b-c)^2 \ge 0 , \ \forall a,b,c \in \mathbb{R} [/tex]
Așa se procedează la toate
