Răspuns:
[tex](a) \boldsymbol{ \red{48\sqrt{2} \ cm^2}}, (b) \boldsymbol{ \red{\dfrac{24\sqrt{41}}{41} \ cm}} \\[/tex]
Explicație pas cu pas:
ABCDEFGH prismă patrulateră regulată, AB = 6 cm, AE = 8 cm
a) Secțiunea diagonală a prismei este dreptunghiul ACGE
[tex]AC = AB\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \ cm[/tex]
Aria ACGE este
[tex]\mathcal{A}_{ACGE} = AC \cdot AE = 6\sqrt{2} \cdot 8 = \bf 48\sqrt{2} \ cm^2\\[/tex]
b) Din BG ≡ DG (diagonalele fețelor laterale) ⇒ ΔBGD este isoscel
Notăm AC ∩ BD = {O} ⇒ CO = AC : 2 = 6√2 : 2 ⇒ CO = 3√2 cm
BO ≡ CO ⇒ BO = 3√2 cm
GO este mediană și înălțime ⇒ GO⊥ BD
Aplicăm teorema lui Pitagora în ΔCGO:
[tex]GO = \sqrt{CO^2+CG^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2+8^2} = \sqrt{82} \ cm\\[/tex]
AC⊥BD (diagonale în pătratul ABCD) ⇒ CO⊥BD
Notăm CM = d(C, (BDG))
Din CO⊥BD, GO⊥BD, CO⊂(BDG) ⇒ CM⊥CO (RT3⊥)
În ΔCGO avem relația:
[tex]CM \cdot GO = CO \cdot CG \Rightarrow CM = \dfrac{3\sqrt{2} \cdot 8}{\sqrt{82}} = \dfrac{24\sqrt{164}}{82} = \dfrac{24\sqrt{41}}{41} \\[/tex]
[tex]\Rightarrow \bf d(C,(BDG)) = \dfrac{24\sqrt{41}}{41} \ cm\\[/tex]
