Răspuns:
[tex](a)\boldsymbol{ \red{ \dfrac{4}{3} \ cm}}, (b)\boldsymbol{ \red{(VMC) \perp (ABD)}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
VABCD piramidă patrulateră regulată, AB = 4 m, VO = 8 m, O este centrul bazei ABCD, M este mijlocul segmentului VO
a) AC este diagonala pătratului ABCD ⇒ AC = AB√2 = 4√2 cm
O este centrul bazei ABCD ⇒ este punctul de intersecție al diagonalelor pătratului ABCD ⇒ AO = AC : 2 = 4√2 : 2 = 2√2 cm
Fie N∈VA. Pentru ca lungimea segmentului MN să fie cea mai mică posibilă ⇒ MN⊥VA
VO⊥(ABD), AO⊂(ABD) ⇒ VO⊥AO. Aplicăm teorema lui Pitagora în ΔVOA dreptunghic:
[tex]VA = \sqrt{VO^2+AO^2} = \sqrt{8^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 + 8} = \sqrt{72} = \bf 6\sqrt{2} \ cm\\[/tex]
M este mijlocul segmentului VO ⇒ VM = VO : 2 = 8 : 2 = 4 cm
Din ∡VNM = ∡VOA = 90° și ∡MVN ≡ ∡AVO ⇒ ΔVNM~ΔVOA
[tex]\dfrac{MN}{AO} = \dfrac{VM}{VA} \Rightarrow \dfrac{MN}{2\sqrt{2} } = \dfrac{4}{6\sqrt{2}} \Rightarrow MN = \dfrac{4 \cdot 2\sqrt{2} }{6\sqrt{2}} = \bf \dfrac{4}{3} \ cm \\[/tex]
b) VO⊥(ABD), VO⊂(VOC) ⇒ (VOC)⊥(ABD)
(VOC)⊥(ABD), M∈VO ⇒ (VMC)⊥(ABD)
q.e.d.
✍ Reținem:
Perpendiculara dusă dintr-un punct exterior la o dreaptă este mai mică decât orice oblică dusă din acel punct la acea dreaptă.
