Răspuns:
Pentru a rezolva aceste probleme, vom folosi teorema sinusului și teorema cosinusului în triunghiul ABC.
a) Pentru a afla lungimea segmentului AD, vom folosi teorema cosinusului. Teorema cosinusului ne spune că într-un triunghi ABC cu laturile a, b și c și un unghi opus laturii c de măsură C, avem:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]
Pentru triunghiul ABC, avem BD = 8 cm, CD = 18 cm, și \( \angle BAC = 90^\circ \) (deoarece 4A - 90°). Pentru a afla AD, vom aplica teorema cosinusului pentru unghiul BAC:
\[ AD^2 = BD^2 + CD^2 - 2 \cdot BD \cdot CD \cdot \cos(90^\circ) \]
\[ AD^2 = 8^2 + 18^2 - 2 \cdot 8 \cdot 18 \cdot 0 \]
\[ AD^2 = 64 + 324 - 0 \]
\[ AD^2 = 388 \]
\[ AD = \sqrt{388} \]
\[ AD \approx 19.7 \, cm \]
Deci, lungimea segmentului AD este aproximativ 19.7 cm.
b) Pentru a afla lungimile segmentelor BD și BC, vom folosi teorema sinusului. Teorema sinusului ne spune că într-un triunghi ABC cu unghiurile A, B, C și laturile a, b, c, avem:
\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \]
Pentru a afla BD și BC, vom aplica teorema sinusului în triunghiul ABC cu lungimile date:
Pentru BD:
\[ \frac{BD}{\sin(90^\circ)} = \frac{AD}{\sin(4A)} \]
\[ BD = AD \cdot \sin(4A) \]
\[ BD = 12 \cdot \sin(4 \cdot
