Răspuns:
Bineînțeles! Vom rezolva direct inegalitatea data: \( \frac{1}{x} - 2 > \frac{x}{x - 1} \) pentru \( x \in [2, +\infty) \).
1. Începem cu inegalitatea data: \( \frac{1}{x} - 2 > \frac{x}{x - 1} \).
2. Adunăm \( 2 \) la ambele părți pentru a simplifica inegalitatea: \( \frac{1}{x} - 2 + 2 > \frac{x}{x - 1} + 2 \).
3. Obținem: \( \frac{1}{x} > \frac{x}{x - 1} + 2 \).
4. Simplificăm partea dreaptă: \( \frac{x}{x - 1} + 2 = \frac{x}{x - 1} + \frac{2(x - 1)}{x - 1} = \frac{x + 2x - 2}{x - 1} = \frac{3x - 2}{x - 1} \).
5. Acum inegalitatea este: \( \frac{1}{x} > \frac{3x - 2}{x - 1} \).
6. Pentru a continua, putem aduce totul pe același numitor și să comparăm.
