👤


5p 5. În figura alăturată, triunghiul ABC este drept-
unghic, DE este mediatoarea
ipotenuzei BC,
AC=8 cm şi BE = 10 cm.
(2p) a) Arată că BC=8√5 cm.
(3p) b) Determină aria triunghiului ADE.


5p 5 În Figura Alăturată Triunghiul ABC Este Drept Unghic DE Este Mediatoarea Ipotenuzei BC AC8 Cm Şi BE 10 Cm 2p A Arată Că BC85 Cm 3p B Determină Aria Triung class=

Răspuns :

Răspuns:

[tex](a) \boldsymbol{ \red{BC = 8\sqrt{5} \ cm}}, (b) \boldsymbol{ \red{\mathcal{A}_{\Delta ADE} =12 \ cm^2}}[/tex]

Explicație pas cu pas:

DE este mediatoarea ipotenuzei BC ⇒ BE ≡ CE (proprietatea mediatoarei) ⇒ CE = 10 cm

BD ≡ CD ⇒ BC = BD + CD = 2BD

Aplicăm teorema lui Pitagora în ΔACE:

[tex]AE = \sqrt{CE^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100-64} = \sqrt{36} = \bf6 \ cm\\[/tex]

AB = AE + BE = 6 + 10 = 16 cm

Din ∡BAC ≡ ∡BDE și ∡ABC ≡ ∡DBE ⇒ ΔABC ~ ΔDBE (criteriul U.U.U.)

[tex]\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BC}{BE} = \dfrac{AC}{DE} \Rightarrow \dfrac{16}{BD} = \dfrac{2BD}{10} = \dfrac{8}{DE}\\[/tex]

[tex]\Rightarrow BD^2 = 80 \Rightarrow BD = 4\sqrt{5} \ cm[/tex]

[tex]\Rightarrow \bf BC = 8\sqrt{5} \ cm[/tex]

b) Construim DF⊥AB, F∈AB ⇒ ΔBFD ~ ΔBAC (T.f.a.)

[tex]\dfrac{DF}{AC} = \dfrac{BD}{BC} \Rightarrow \dfrac{DF}{8} = \dfrac{BD}{2BD} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \bf DF = 4 \ cm\\[/tex]

E∈AB ⇒ DF⊥AE ⇒ DF este înălțime (exterioară) în triunghiul ADE.

Aria triunghiului ADE:

[tex]\boldsymbol{ \mathcal{A}_{\Delta ADE} = \dfrac{h \cdot b}{2} } = \dfrac{DF \cdot AE}{2} = \dfrac{4 \cdot 6}{2} = \bf 12 \ cm^2\\[/tex]

Reținem:

Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul său.

Proprietatea mediatoarei: Orice punct situat pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului.

Mai multe detalii despre mediatoarea unui segment https://brainly.ro/tema/10639807, https://brainly.ro/tema/10899357

Vezi imaginea ANDYILYE