Răspuns:
[tex](a) \boldsymbol{ \red{S = \bigg[-\dfrac{1}{12};+\infty\bigg)}}; (b)\boldsymbol{ \red{S = \bigg\{ -\dfrac{1}{2}; -\dfrac{3}{8} \bigg\} }}[/tex]
Explicație pas cu pas:
a) Condiția o punem discriminantului: Δ ≥ 0 (]n acest caz, se solicită soluții reale, adică cel puțin o soluție; pentru două soluții reale distincte condiția este Δ > 0)
[tex]\Delta \geq 0\Rightarrow (2m+1)^2 - 4(m-2) \cdot m \geq 0[/tex]
[tex]4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 + 8m \geq 0[/tex]
[tex]12m \geq -1 \Rightarrow m \geq -\dfrac{1}{12}[/tex]
b) Din Relațiile lui Viete avem egalitățile:
[tex]\begin{cases}S = -\dfrac{b}{a} \\ P = \dfrac{c}{a} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_1 + x_2 = -(2m+1) \\ x_1 \cdot x_2 = m \end{cases} \\[/tex]
Relația dintre suma pătratelor rădăcinilor o determinăm astfel:
[tex]x^{2}_{1} + x^{2}_{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 \cdot x_{1} \cdot x_{2} = \bf S^{2} - 2P \\[/tex]
Avem egalitatea:
[tex]x^{2}_{1} + x^{2}_{2} = 1 \Rightarrow S^{2} - 2P = 1[/tex]
De unde obținem:
[tex][-2(2m+1)]^2 - 2 \cdot m = 1 \Rightarrow 16m^2+14m+3=0\\[/tex]
[tex]\Delta = 14^2-4\cdot16\cdot3 = 4[/tex]
[tex]m_1 = \dfrac{-14-2}{32} = -\dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]m_2 = \dfrac{-14+2}{32} = -\dfrac{3}{8}[/tex]
✍ Reținem:
Relațiile lui Viete
Într-o ecuație algebrică, formulele lui Viete sunt relații între coeficienții ecuației și rădăcinile acesteia.
Ecuația de gradul 2:
[tex]\boldsymbol{ax^{2} + bx + c = 0}, \ \ a \neq0, \ \ a,b,c \in \Bbb{R}; \ \ x_{1} \ si \ x_{2} - r\breve{a}d\breve{a}cinile \ ecuatiei \\[/tex]
Notăm cu S suma rădăcinilor și cu P produsul acestora și obținem relațiile lui Viete pentru ecuația de gradul 2.
[tex]\boldsymbol{S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} }[/tex]
[tex]\boldsymbol{P = x_{1} \cdot x_{2} = \dfrac{c}{a} }[/tex]
Mai multe detalii despre relațiile lui Viete https://brainly.ro/tema/10703625
