Răspuns:
Vom folosi valorile trigonometrice cunoscute și identitățile trigonometrice pentru a calcula aceste expresii:
a) sin 105°:
Putem folosi identitatea trigonometrică sin(180° - x) = sin(x). Deci, sin(105°) = sin(180° - 75°) = sin(75°).
Știm că sin(30°) = 1/2 și cos(30°) = √3/2, deci sin(75°) = sin(30° + 45°) = sin(30°)cos(45°) + cos(30°)sin(45°).
sin(75°) = (1/2 * √2/2) + (√3/2 * √2/2) = (√2/4) + (√6/4) = (√2 + √6) / 4.
b) cos(45°/2):
Cosinusul unghiului jumătate este dat de formula: cos(x/2) = ±√((1 + cos(x))/2).
Pentru x = 45°, avem cos(45°/2) = ±√((1 + cos(45°))/2) = ±√((1 + √2/2)/2).
c) cos(405°):
Pentru a calcula cos(405°), putem folosi identitatea trigonometrică: cos(360° + x) = cos(x). Deci, cos(405°) = cos(45°).
Știm că cos(45°) = √2/2.
d) tg(165°):
Tangenta este dată de raportul dintre sin și cos: tg(x) = sin(x)/cos(x).
Pentru x = 165°, avem tg(165°) = sin(165°)/cos(165°).
Putem folosi identitatea trigonometrică: sin(180° - x) = sin(x) și cos(180° - x) = -cos(x). Deci, sin(165°) = sin(180° - 15°) = sin(15°) și cos(165°) = -cos(15°).
Știm că sin(15°) = √((1 - cos(30°))/2) și cos(15°) = √((1 + cos(30°))/2).
tg(165°) = (sin(15°)) / (-cos(15°)) = -√((1 - cos(30°))/2) / √((1 + cos(30°))/2).
Acestea sunt expresiile calculate pentru fiecare din valorile trigonometrice date.
