Răspuns :
Pentru a găsi coordonatele fiecăruia dintre punctele cerute, trebuie să folosim formulele pentru mijlocul segmentului și pentru simetrie.
### a) Mijlocul segmentului [AD]:
Pentru a găsi mijlocul segmentului [AD], utilizăm formula pentru mijlocul segmentului:
\[ M(x, y) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]
Avem punctele A(-6, -2) și D(6, 2). Folosind formula, obținem:
- \( x = \frac{-6 + 6}{2} = 0 \)
- \( y = \frac{-2 + 2}{2} = 0 \)
Astfel, coordonatele mijlocului segmentului [AD] sunt \( M(0, 0) \).
### b) Simetricul punctului B față de punctul D:
Pentru a găsi simetria punctului B(-2, 0) față de punctul D(6, 2), putem considera că \( D \) este punctul de referință și că simetria înseamnă "oglindirea" lui \( B \) în raport cu \( D \). Formula este:
\[ S(x, y) = (2 \cdot x_D - x_B, 2 \cdot y_D - y_B) \]
Aplicăm formula pentru punctul \( B \):
- \( x = 2 \times 6 - (-2) = 12 + 2 = 14 \)
- \( y = 2 \times 2 - 0 = 4 \)
Simetricul punctului B față de punctul D este \( S(14, 4) \).
### c) Mijlocul segmentului [AC]:
Pentru a găsi mijlocul segmentului [AC], utilizăm din nou formula pentru mijlocul segmentului. Punctele sunt A(-6, -2) și C(4, -4):
- \( x = \frac{-6 + 4}{2} = -1 \)
- \( y = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \)
Astfel, mijlocul segmentului [AC] este \( M(-1, -3) \).
### d) Mijlocul segmentului determinat de simetricele punctelor C și D față de B:
Mai întâi, trebuie să găsim simetria punctelor C și D față de B:
Simetria punctului C(4, -4) față de punctul B(-2, 0):
- \( x = 2 \times (-2) - 4 = -4 - 4 = -10 \)
- \( y = 2 \times 0 - (-4) = 0 + 4 = 4 \)
Deci simetricul punctului C față de punctul B este \( S_1(-10, 4) \).
Simetria punctului D(6, 2) față de punctul B(-2, 0):
- \( x = 2 \times (-2) - 6 = -4 - 6 = 14 \)
- \( y = 2 \times 0 - 2 = 4 \)
Deci simetricul punctului D față de punctul B este \( S_2(14, 4) \).
Pentru a găsi mijlocul segmentului [OC], folosim formula pentru mijlocul segmentului. Segmentul [OC] are coordonatele \( S_1(-10, 4) \) și \( S_2(14, 4) \):
- \( x = \frac{-10 + 14}{2} = 2 \)
- \( y = \frac{4 + 4}{2} = 4 \)
Astfel, mijlocul segmentului determinat de simetricele punctelor C și D față de B este \( M(2, 4) \).
### a) Mijlocul segmentului [AD]:
Pentru a găsi mijlocul segmentului [AD], utilizăm formula pentru mijlocul segmentului:
\[ M(x, y) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]
Avem punctele A(-6, -2) și D(6, 2). Folosind formula, obținem:
- \( x = \frac{-6 + 6}{2} = 0 \)
- \( y = \frac{-2 + 2}{2} = 0 \)
Astfel, coordonatele mijlocului segmentului [AD] sunt \( M(0, 0) \).
### b) Simetricul punctului B față de punctul D:
Pentru a găsi simetria punctului B(-2, 0) față de punctul D(6, 2), putem considera că \( D \) este punctul de referință și că simetria înseamnă "oglindirea" lui \( B \) în raport cu \( D \). Formula este:
\[ S(x, y) = (2 \cdot x_D - x_B, 2 \cdot y_D - y_B) \]
Aplicăm formula pentru punctul \( B \):
- \( x = 2 \times 6 - (-2) = 12 + 2 = 14 \)
- \( y = 2 \times 2 - 0 = 4 \)
Simetricul punctului B față de punctul D este \( S(14, 4) \).
### c) Mijlocul segmentului [AC]:
Pentru a găsi mijlocul segmentului [AC], utilizăm din nou formula pentru mijlocul segmentului. Punctele sunt A(-6, -2) și C(4, -4):
- \( x = \frac{-6 + 4}{2} = -1 \)
- \( y = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \)
Astfel, mijlocul segmentului [AC] este \( M(-1, -3) \).
### d) Mijlocul segmentului determinat de simetricele punctelor C și D față de B:
Mai întâi, trebuie să găsim simetria punctelor C și D față de B:
Simetria punctului C(4, -4) față de punctul B(-2, 0):
- \( x = 2 \times (-2) - 4 = -4 - 4 = -10 \)
- \( y = 2 \times 0 - (-4) = 0 + 4 = 4 \)
Deci simetricul punctului C față de punctul B este \( S_1(-10, 4) \).
Simetria punctului D(6, 2) față de punctul B(-2, 0):
- \( x = 2 \times (-2) - 6 = -4 - 6 = 14 \)
- \( y = 2 \times 0 - 2 = 4 \)
Deci simetricul punctului D față de punctul B este \( S_2(14, 4) \).
Pentru a găsi mijlocul segmentului [OC], folosim formula pentru mijlocul segmentului. Segmentul [OC] are coordonatele \( S_1(-10, 4) \) și \( S_2(14, 4) \):
- \( x = \frac{-10 + 14}{2} = 2 \)
- \( y = \frac{4 + 4}{2} = 4 \)
Astfel, mijlocul segmentului determinat de simetricele punctelor C și D față de B este \( M(2, 4) \).
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de sprijin, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la favorite pentru acces rapid.