Ipoteză: ΔABC echilateral, AD⊥BC, D∈(BC)
Concluzie: AD este mediatoarea laturii [BC]
Demonstrație: ΔABC este echilateral ⇒ AB≡AC și ∡ABC≡∡ACB
D∈(BC) ⇒ ∡ABD≡∡ACD
AD este înălțime ⇒ ∡ADB≡∡ADC
Astfel:
[tex]\left.\begin{matrix} \measuredangle ABD \equiv \measuredangle ACD \\ AB \equiv AC \\ \measuredangle ADB \equiv \measuredangle ADC \end{matrix}\right\} \xrightarrow[L.U.L.]{criteriul} \Delta ADB \equiv \Delta ADC \Rightarrow \boldsymbol{BD \equiv AC}\\[/tex]
Așadar:
[tex]\left.\begin{matrix} BD \equiv CD \\ AD \perp BC \end{matrix}\right\} \Rightarrow \boldsymbol{AD \ mediatoarea \ [BC]}[/tex]
q.e.d.
