Răspuns:
[tex](a)\boldsymbol{ \red{ 81\sqrt{3} \ cm^2 }}; (b)\boldsymbol{ \red{ 3\sqrt{7} \ cm }}[/tex]
Explicație pas cu pas:
ABCD trapez isoscel, AB║CD, AC∩BD = {0}, CD = 6 cm, AB = 12 cm, AC = 18 cm, punctul E este mijlocul laturi AD, punctul F este mijlocul segmentului OB.
a) Construim înălțimile DM⊥AB, M∈AB, CN⊥AB, N∈AB ⇒ MNCD este dreptunghi ⇒ MN = CD = 6 cm
[tex]AM = BN = \dfrac{AB-MN}{2} = \dfrac{12-6}{2} = 3 \ cm[/tex]
[tex]AN = AM + MN = 3 + 6 = 9 \ cm[/tex]
Aplicăm teorema lui Pitagora în ΔACN:
[tex]CN = \sqrt{AC^2-AN^2} = \sqrt{18^2-9^2} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3} \ cm[/tex]
Aria trapezului este:
[tex]\mathcal{A} = \dfrac{(AB+CD) \cdot CN}{2} = \dfrac{(12+6) \cdot 9\sqrt{3} }{2} = \dfrac{18 \cdot 9\sqrt{3} }{2} = 81\sqrt{3} \ cm^2[/tex]
b) OA ≡ OB și OC ≡ OD (intersecția diagonalelor trapezului isoscel determină segmente congruente) ⇒ ΔCOD~ΔAOB
[tex]\dfrac{OC}{OA} = \dfrac{CD}{AB} \Rightarrow \dfrac{OA+OC}{OA} = \dfrac{AB+CD}{AB} \Rightarrow \dfrac{AC}{OA} = \dfrac{12+6}{12} \Rightarrow \dfrac{18}{OA} = \dfrac{18}{12}[/tex]
[tex]\Rightarrow OA = 12 \ cm[/tex]
Din OA = AB = 12 cm ⇒ ΔOAB este isoscel
Punctul F este mijlocul segmentului OB ⇒ AF este mediană și înălțime ⇒ AF⊥OB ⇒ ∡AFO = 90° ⇒ ∡AFD = 90° ⇒ ΔAFD este dreptunghic
Punctul E este mijlocul laturii AD ⇒ EF este mediană în ΔAFD este dreptunghic ⇒ EF ≡ AE ≡ DE
DM ≡ CN ⇒ DM = 9√3 cm
Aplicăm teorema lui Pitagora în ΔAMD:
[tex]AD = \sqrt{AM^2+DM^2} = \sqrt{3^2+(9\sqrt{3})^2} = \sqrt{252} = 6\sqrt{7} \ cm[/tex]
[tex]EF = \dfrac{AD}{2} = \dfrac{6\sqrt{7}}{2} \Rightarrow \bf EF = 6\sqrt{7} \ cm[/tex]
