Răspuns:
3. Descompunem în baza 10
[tex]\overline{ab} = 3(a+b) \Rightarrow 10a + b = 3a + 3b \Rightarrow 10a-3a=3b-b \Rightarrow 7a=2b[/tex]
Cum 7 și 2 sunt numere prime între ele (nu au divizori comuni), atunci a este multiplu de 2, iar b este multiplu de 7. Dar a și b sunt cifre, așadar unica soluție este a = 2 și b = 7. Numărul solicitat este 27.
4. Produsul numerelor a și b este:
a · b = 2√3 · 8√27 = 16√81 = 16·√9² = 16·9 = 144 = 12²
Media geometrică a numerelor este:
[tex]m_g = \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{12^2} = 12 \in \Bbb{N}[/tex]
5. (x + 2)² = 16 ⇒ (x + 2)² = 4² ⇒ |x + 2| = 4
Explicităm modulul:
- x + 2 = -4 ⇒ x = - 4 - 2⇒ x = -6
- x + 2 = 4 ⇒ x = 4 - 2 ⇒ x = 2
⇒ S = {-6; 2}
6. Observăm că 1 + 2 + 2² + 2³ = 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Cum suma are 2019 - 0 + 1 = 2020 termeni, putem să-i grupăm câte 4 și să dăm factor comun:
n = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + ... + 2²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁷ + 2²⁰¹⁸ + 2²⁰¹⁹ = (1 + 2 + 2² + 2³) + 2⁴ · (1 + 2 + 2² + 2³) + ... + 2²⁰¹⁶ · (1 + 2 + 2² + 2³) = 15 + 2⁴ · 15 + ... + 2²⁰¹⁶ · 15 = 15 · (1 + 2⁴ + ... + 2²⁰¹⁶) ∈ M₁₅
Cum unul dintre factori este 15, înseamnă că numărul n este divizibil cu 15
⇒ n ⁝ 15
