Răspuns:
[tex]\boldsymbol {\red{A. \ \bigg(2\sqrt{3} + \dfrac{ \sqrt{93} }{3}\bigg) \ cm}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Formula înălțimii în triunghiul echilateral ABC:
[tex]h = \dfrac {\ell\sqrt {3}}{2} \Rightarrow \dfrac {AB\sqrt {3}}{2} = 2\sqrt {3} \Rightarrow AB = 4 \ cm \\ [/tex]
[tex]VO = 75\%AB \Rightarrow VO = \dfrac {75}{100} \cdot 4 = 3 \ cm \\ [/tex]
Valoarea minimă a sumei AP + VP se realizează atunci când AP⊥BC și VP⊥BC, deci AP este înălțime în ΔABC și VP este apotema piramidei.
[tex]AP = 2 \sqrt{3} \ cm[/tex]
OP este apotema bazei:
[tex]OP = \dfrac{1}{3}AP = \dfrac{2 \sqrt{3} }{3}[/tex]
Teorema lui Pitagora în ΔVOP:
[tex]VP = \sqrt{VO^2 + OP^2} = \sqrt{ {3}^{2} + \bigg( \dfrac{2 \sqrt{3} }{3}\bigg)^{2} } = \sqrt{ \dfrac{81 + 12}{9} } = \dfrac{ \sqrt{93} }{3} \ cm \\ [/tex]
Așadar, valoarea minimă este:
[tex]AP+VP = \bigg(2\sqrt{3} + \dfrac{ \sqrt{93} }{3}\bigg) \ cm \\ [/tex]
