Răspuns:
Pentru a determina semnul fiecărei expresii, vom folosi proprietățile trigonometrice dintr-un cerc unitate și din triunghiuri dreptunghice.
1. \( \sin(8^\circ) \):
Deoarece \( 8^\circ \) este un unghi mic, \( \sin(8^\circ) \) este pozitiv, deoarece se află în primul cadran al cercului unitate.
2. \( \sin\left(\frac{\pi}{2007}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2007}\right) \):
Pentru a determina semnul acestei expresii, trebuie să privim unde se află \( \frac{\pi}{2007} \) în cercul unitate. Deoarece este un unghi mic, ambele \( \sin \) și \( \cos \) vor fi pozitive. Astfel, rezultatul va fi pozitiv.
3. \( \cos(1) - \frac{\sqrt{2}}{2} \):
\( \cos(1) \) este între \( \cos(0) \) și \( \cos(90^\circ) \), deci este pozitiv. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) este pozitiv, deoarece este valoarea cosinusului la \( 45^\circ \). Prin urmare, diferența dintre aceste două valori va fi pozitivă.
În concluzie:
1. \( \sin(8^\circ) \) este pozitiv.
2. \( \sin\left(\frac{\pi}{2007}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2007}\right) \) este pozitiv.
3. \( \cos(1) - \frac{\sqrt{2}}{2} \) este pozitiv.
