Pentru a rezolva această ecuație, vom folosi relațiile de trigonometrie:
1. Folosind formula tangentei pentru suma a două unghiuri, avem:
tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a) * tan(b))
2. Aplicăm formula pentru a scrie expresia inițială ca o singură tangenta:
(tan(pi/8) + x) * tan(pi/8 - x) + tan(pi/8 + x) + tan(pi/8 - x) = 1
3. Aplicăm formula pentru a obține o expresie mai simplă:
[(tan(pi/8) * tan(pi/8 - x) + x * tan(pi/8 - x) + tan(pi/8 + x) + tan(pi/8 - x)] / [1 - tan(pi/8) * tan(pi/8 - x)]
4. Înlocuim valorile tangentei pentru pi/8 și pi/8 - x cu sin și cos:
[(sin(pi/8) * sin(pi/8 - x) / cos(pi/8) * cos(pi/8 - x) + x * sin(pi/8 - x) / cos(pi/8 - x) + sin(pi/8) * cos(pi/8) / cos(pi/8) * cos(pi/8 - x) + sin(pi/8) * sin(pi/8 - x) / cos(pi/8) * cos(pi/8 - x)] / [1 - sin(pi/8) * sin(pi/8 - x) / cos(pi/8) * cos(pi/8 - x)]
5. Simplificăm expresia pentru a obține:
[(sin(pi/4 - x) + x * sin(pi/8 - x) + sin(pi/4) + sin(pi/4 - x)] / [cos(pi/4 - x)]
6. Înlocuim valoarea pentru sine și cos pentru a obține în cele din urmă:
(1 + x) / sqrt(2)
Deci, ecuația tan(pi/8 + x) * tan(pi/8 - x) + tan(pi/8 + x) + tan(pi/8 - x) = 1 este echivalentă cu (1 + x) / sqrt(2) = 1, din care obținem x = sqrt(2) - 1
