Răspuns:
Pentru x ∈ (0,+∞), f(x) = x²-x este funcție elementară care este continuă și derivatele pe (0,+∞)
Pentru x ∈ (-∞,0), f(x) = -x²+x este funcție elementară care este continuă și derivatele pe (-∞,0)
Deci f este continuă și derivabilă pe R - {0}.
Trebuie să studiem derivabilitatea funcției f în punctul x = 0.
Folosim definiția:
[tex]f'_d(0) = \lim \limits_{x \to 0,x > 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim \limits_{x \to 0,x > 0} \dfrac{ {x}^{2} - x - 0}{x} = \lim \limits_{x \to 0,x > 0} \dfrac{x(x - 1)}{x} = \lim \limits_{x \to 0,x > 0}(x - 1) = - 1[/tex]
[tex]f'_s(0) = \lim \limits_{x \to 0,x < 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim \limits_{x \to 0,x < 0} \dfrac{ - {x}^{2} + x - 0}{x} = \lim \limits_{x \to 0,x < 0} \dfrac{x(1 - x)}{x} = \lim \limits_{x \to 0,x < 0}(1 - x) = 1[/tex]
[tex]f'_s(0) \neq f'_d(0)[/tex]
⇒ f nu este derivabilă în punctul 0
⇒ f este derivabilă pe R*
