[tex]\it a)\ \ \ detA=\begin{vmatrix} \ 5&\ 2\\-5&-3\end{vmatrix}=5\cdot(-3)-2\cdot(-5)=-15+10=-5[/tex]
[tex]\it b)\ \ A\cdot A=\begin{pmatrix}\ \ 5&\ \ 2\\-5&-3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\ \ 5&\ \ 2\\-5&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\ \ 15&\ \ 4\\-10&-1\end{pmatrix}\\ \\ \\ A\cdot A-2A-5I_2=\begin{pmatrix}\ \ 15&\ \ 4\\-10&-1\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}\ \ 5&\ \ 2\\-5&-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5&\ 0\\0&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&\ 0\\0&0\end{pmatrix}=O_2[/tex]
[tex]\it c)\ \ A-xI_2=\begin{pmatrix} \ 5&\ 2\\-5&-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x&\ 0\\0&x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5-x&\ 2\\-5&-3-x\end{pmatrix}\\ \\ \\ det(A-xI_2)=10 \Rightarrow \begin{vmatrix} \ \ 5-x&\ \ 2\\ -5&-3-x\end{vmatrix}=10 \Rightarrow(5-x)(-3-x)-2(-5)=10\\ \\ \Rightarrow (5-x)(3+x)=0 \Rightarrow x\in\{-3,\ \ 5\}[/tex]
