Răspuns:
[tex]\boldsymbol{ \red{a. \ 9}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Scriem numărul sub o formă mai simplă:
[tex]\sqrt{\dfrac{1}{1 \cdot 160} + \dfrac{1}{2 \cdot 240} + \dfrac{1}{3 \cdot 320} + ... + \dfrac{1}{80 \cdot 6480}} =\\[/tex]
[tex]= \sqrt{\dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 80} + \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 80} + \dfrac{1}{3 \cdot 4 \cdot 80} + ... + \dfrac{1}{80 \cdot 81 \cdot 80}}\\[/tex]
Dăm factor comun:
[tex]= \sqrt{\dfrac{1}{80} \cdot\bigg( \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + ... + \dfrac{1}{80 \cdot 81}\bigg)}\\[/tex]
Utilizăm formula:
[tex]\boxed{\boldsymbol{\dfrac{1}{n \cdot (n + 1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1} }}[/tex]
[tex]= \sqrt{\dfrac{1}{80} \cdot\bigg( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{80} - \dfrac{1}{81}\bigg)}\\[/tex]
Reducem termenii asemenea:
[tex]= \sqrt{\dfrac{1}{80} \cdot\bigg( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{81}\bigg)} = \sqrt{\dfrac{1}{80} \cdot \dfrac{80}{81}} = \sqrt{\dfrac{1}{81} } = \sqrt{\dfrac{1}{9^2} }\\[/tex]
[tex]= \bf \dfrac{1}{9}[/tex]
⇒ inversul numărului este 9
R: a. 9
