Răspuns:
[tex]\boldsymbol { \red {n \in \{-3,1,3\}}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Descompunem în factori primi
[tex]x^2+3x+2 = x^2 + x + 2x + 2 = x(x+1) + 2(x+1) = (x+1)(x+2)[/tex]
[tex]x^2+5x+6 = x^2 + 2x + 3x + 6 = x(x+2) + 3(x+2) = (x+2)(x+3)[/tex]
Aducem la numitor comun
[tex]E(x) = \bigg(\dfrac{^{x+2)} 1}{x(x+1)} + \dfrac{^{x)}1}{(x+1)(x+2)}\bigg) \cdot \dfrac{(x+2)(x+3)}{4}[/tex]
[tex]E(x) = \bigg(\dfrac{x+2}{x(x+1)(x+2)} + \dfrac{x}{x(x+1)(x+2)}\bigg) \cdot \dfrac{(x+2)(x+3)}{4}[/tex]
[tex]E(x) = \dfrac{2(x+1)}{x(x+1)(x+2)} \cdot \dfrac{(x+2)(x+3)}{4}[/tex]
Simplificăm prin 2·(x+1)·(x+2)
[tex]E(x) = \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{x+3}{2} \Rightarrow E(x) = \dfrac{x+3}{2x}, \ \forall x \in \Bbb{R} \setminus \{-2,-1,0\}[/tex]
E(n) este număr întreg numai dacă 2n este divizor pentru n + 3
2n | (n + 3) ⇒ 2n | 2(n+3) ⇒ 2n | (2n + 6) ⇒ 2n | 6 ⇒ n | 3
Divizorii întregi ai lui 3 sunt -3, -1, 1, 3. Dar -1 este exclus din domeniul de definiție. Verificăm pentru celelalte valori:
[tex]n = - 3 \Rightarrow E(-3) = \dfrac{-3+3}{2(-3)} = \dfrac{0}{-6} = 0 \in \Bbb{Z}[/tex]
[tex]n = 1 \Rightarrow E(1) = \dfrac{1+3}{2 \cdot 1} = \dfrac{4}{2} = 2 \in \Bbb{Z}[/tex]
[tex]n = 3 \Rightarrow E(3) = \dfrac{3+3}{2 \cdot 3} = \dfrac{6}{6} = 1 \in \Bbb{Z}[/tex]
Valorile întregi ale lui n pentru care E(n) este număr întreg sunt:
[tex]\Rightarrow \boldsymbol {n \in \{-3,1,3\}}[/tex]
O temă similară https://brainly.ro/tema/10732817
