Răspuns:
a) Pentru funcția f(x) = x² - 4x:
Calculăm derivata primă a funcției:
f'(x) = 2x - 4
Pentru a găsi punctele de inflexiune, egalăm derivata cu zero și rezolvăm ecuația:
2x - 4 = 0
2x = 4
x = 2
Apoi, putem testa intervalele de monotonie folosind punctul de inflexiune și intervalele care îl înconjoară:
- Pentru x < 2, alegem x = 0:
f'(0) = 2(0) - 4 = -4 (negativ)
Deci, funcția este descrescătoare pentru x < 2.
- Pentru x > 2, alegem x = 3:
f'(3) = 2(3) - 4 = 2 (pozitiv)
Deci, funcția este crescătoare pentru x > 2.
Prin urmare, intervalul de monotonie al funcției f(x) = x² - 4x este:
Descrescător pe (-∞, 2) și crescător pe (2, ∞).
b) Pentru funcția f(x) = x * e^x:
Calculăm derivata primă a funcției folosind regula produsului:
f'(x) = 1 * e^x + x * e^x = e^x(1 + x)
Funcția va fi crescătoare acolo unde derivata este pozitivă și descrescătoare acolo unde derivata este negativă.
Punctele de inflexiune sunt soluțiile ecuației e^x(1 + x) = 0, care ar fi x = -1. Deci, avem un punct de inflexiune în x = -1.
Pentru a determina intervalul de monotonie, putem folosi punctul de inflexiune și intervalele care îl înconjoară:
- Pentru x < -1, alegem x = -2:
f'(-2) = e^(-2)(1 - 2) = e^(-2) * (-1) < 0 (negativ)
Deci, funcția este descrescătoare pe intervalele mai mici decât -1.
- Pentru x > -1, alegem x = 0:
f'(0) = e^0(1 + 0) = 1 (pozitiv)
Deci, funcția este crescătoare pe intervalele mai mari decât -1.
Prin urmare, intervalul de monotonie al funcției f(x) = x * e^x este:
Descrescător pe (-∞, -1) și crescător pe (-1, ∞).
