Răspuns:
Pentru a găsi primii cinci termeni ai șirului definit de formula \(x_n = n^2 - 3n + 5\) și pentru a determina rangul termenului egal cu 23 în acest șir, vom înlocui valorile lui \(n\) cu primele cinci numere naturale (1, 2, 3, 4, 5) în formula dată.
1. Pentru \(n = 1\):
\[ x_1 = 1^2 - 3 \times 1 + 5 = 1 - 3 + 5 = 3 \]
2. Pentru \(n = 2\):
\[ x_2 = 2^2 - 3 \times 2 + 5 = 4 - 6 + 5 = 3 \]
3. Pentru \(n = 3\):
\[ x_3 = 3^2 - 3 \times 3 + 5 = 9 - 9 + 5 = 5 \]
4. Pentru \(n = 4\):
\[ x_4 = 4^2 - 3 \times 4 + 5 = 16 - 12 + 5 = 9 \]
5. Pentru \(n = 5\):
\[ x_5 = 5^2 - 3 \times 5 + 5 = 25 - 15 + 5 = 15 \]
Deci, primii cinci termeni ai șirului sunt: \(3, 3, 5, 9, 15\).
Pentru a determina rangul termenului \(x_n\) care este egal cu 23, vom rezolva ecuația \(n^2 - 3n + 5 = 23\).
1. Scriem ecuația dată:
\[ n^2 - 3n + 5 = 23 \]
2. Rearanjăm ecuația:
\[ n^2 - 3n + 5 - 23 = 0 \]
\[ n^2 - 3n - 18 = 0 \]
3. Folosim formula de rezolvare a ecuației de gradul al doilea:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
unde \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -18\).
4. Aplicăm valorile în formulă:
\[ n = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 1 \times (-18)}}{2 \times 1} \]
\[ n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2} \]
\[ n = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2} \]
\[ n = \frac{3 \pm 9}{2} \]
5. Obținem două soluții:
\[ n_1 = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]
\[ n_2 = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
Răspunsul corect pentru rangul termenului egal cu 23 în șirul dat este \(n = 6\), deoarece \(n = -3\) nu este o valoare validă pentru rangul unui termen într-un șir. Astfel, rangul termenului \(x_n\) egal cu 23 în șirul dat este \(n = \boxed{6}\).
