Pentru a rezolva această problemă, vom folosi relația de arie a unui triunghi și teorema medianei.
a) Fie \( x \) lungimea segmentului \( BC \) și \( y \) lungimea segmentului \( AC \).
Pentru a afla \( x \) și \( y \), putem folosi următoarele relații:
Pentru arie:
\[ A = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \]
Și pentru a relația dată între \( BC \) și \( AC \):
\[ 5BC = 3AC \]
Din această relație, putem exprima \( BC \) în funcție de \( AC \) ca:
\[ BC = \frac{3}{5} \cdot AC \]
Înlocuind această expresie pentru \( BC \) în formula pentru arie, obținem:
\[ A = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot \left(\frac{3}{5} \cdot AC\right) \]
\[ A = \frac{3}{10} \cdot AC^2 \]
Dar știm că aria triunghiului este produsul altitudinii și a bazei împărțit la 2, deci:
\[ A = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \]
Și deoarece \( AB = 18 \) cm, putem scrie:
\[ \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot AC = \frac{3}{10} \cdot AC^2 \]
Simplificând și rezolvând ecuația, găsim lungimea lui \( AC \). Apoi, putem folosi relația \( 5BC = 3AC \) pentru a găsi lungimea lui \( BC \).
b) Pentru a determina distanța dintre mijloacele segmentelor \( AC \) și \( BC \), putem folosi teorema medianei, care afirmă că mijlocul medianei unui triunghi este la jumătatea distanței dintre vârf și mijlocul laturii opuse. Deci, vom găsi mijloacele segmentelor \( AC \) și \( BC \) și apoi vom calcula distanța dintre ele, care va fi jumătate din distanța dintre aceste mijloace.
