Răspuns:
[tex](a)\boldsymbol {\red{\dfrac{9\sqrt{34}}{17} \ cm}}; \ (b)\boldsymbol {\red{ \dfrac{112 + 6\sqrt{34}}{5} \ cm}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
a) Aplicăm teorema lui Pitagora în ΔADB
[tex]BD = \sqrt{AD^2+AB^2} = \sqrt{6^2+10^2} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34} \ cm[/tex]
Din AE⊥BD ⇒ ∡AED = 90°
∡BAD = ∡AED = 90° și ∡ADB ≡ ∡EDA (comun)
⇒ ΔABD ~ ΔEAD (criteriul U.U.U.)
[tex]\dfrac{AD}{DE} = \dfrac{BD}{AD} \Rightarrow DE = \dfrac{AD^2}{BD} = \dfrac{6^2}{2\sqrt{34} } = \dfrac{36\sqrt{34}}{2 \cdot 34} = \dfrac{9\sqrt{34}}{17} \\[/tex]
[tex]\Rightarrow \boldsymbol { DE = \dfrac{9\sqrt{34}}{17} \ cm}[/tex]
b) Din a) ⇒ ∡DBA ≡ ∡DAE
F∈AE ⇒ ∡DBA ≡ ∡DAF și ∡BAD = ∡ADF = 90°
⇒ ΔABD ~ ΔDAF (criteriul U.U.U.)
[tex]\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AD}{DF} = \dfrac{BD}{AF} \Rightarrow \dfrac{10}{6} = \dfrac{6}{DF} = \dfrac{2\sqrt{34}}{AF} \\[/tex]
[tex]AF = \dfrac{6\cdot2\sqrt{34}}{10} \Rightarrow AF = \dfrac{6\sqrt{34}}{5} \ cm[/tex]
[tex]DF = \dfrac{6\cdot6}{10} = \dfrac{18}{5} \Rightarrow DF = 3,6 \ cm[/tex]
[tex]CF = CD-DF = 10 - 3,6 = 6,4 \ cm[/tex]
Perimetrul patrulaterului ABCF este:
[tex]\mathcal{P} = AB+BC+CF+AF = 10 + 6 + 6,4 + \dfrac{6\sqrt{34}}{5} = 22,4 + \dfrac{6\sqrt{34}}{5}\\[/tex]
[tex]\Rightarrow \boldsymbol { \mathcal{P} = \dfrac{112 + 6\sqrt{34}}{5} \ cm}[/tex]
