Răspuns:
a) Pentru a afla lungimile barelor inițiale, putem folosi legea echilibrului static al forțelor. Fie \( m_1 \) și \( m_2 \) masele barelor inițiale, iar \( l_1 \) și \( l_2 \) lungimile lor. Avem:
\[ m_1 \cdot g \cdot \frac{l_1}{2} = m_2 \cdot g \cdot \frac{l_2}{2} \]
Deoarece densitatea este masa pe unitatea de volum, masele pot fi exprimate ca produsul densității cu volumul, iar volumul este produsul lungimii cu secțiunea transversală, care este aceeași pentru ambele bare. Astfel, avem:
\[ m_1 = p_1 \cdot A \cdot l_1 \]
\[ m_2 = p_2 \cdot A \cdot l_2 \]
Înlocuind în ecuația inițială și simplificând, obținem:
\[ p_1 \cdot l_1 = p_2 \cdot l_2 \]
\[ l_1 = \frac{p_2}{p_1} \cdot l_2 \]
b) Dacă se taie o porțiune \( l' \) din capătul cu densitate mai mică, noua lungime a acestei părți devine \( l_1' = l_1 - l' \), iar lungimea părții cu densitate mai mare rămâne \( l_2 \). Centrul de greutate al barei se va deplasa în sus cu o distanță \( \Delta l \), care poate fi calculată folosind principiul păstrării momentului forțelor:
\[ m_1 \cdot g \cdot \frac{l_1}{2} = m_2 \cdot g \cdot \frac{l_2}{2} \]
\[ m_1' \cdot g \cdot \frac{l_1'}{2} + m_2 \cdot g \cdot \frac{l_2}{2} = (m_1 + m_2) \cdot g \cdot \frac{l}{2} \]
\[ m_1' \cdot g \cdot \frac{(l_1 - l')}{2} + m_2 \cdot g \cdot \frac{l_2}{2} = (m_1 + m_2) \cdot g \cdot \frac{l}{2} \]
\[ p_1 \cdot A \cdot \frac{(p_2 \cdot l_2 - p_1 \cdot l')}{2} + p_2 \cdot A \cdot \frac{l_2}{2} = (p_1 \cdot A \cdot l_1 + p_2 \cdot A \cdot l_2) \cdot g \cdot \frac{l}{2} \]
\[ p_1 \cdot \frac{(p_2 \cdot l_2 - p_1 \cdot l')}{2} + p_2 \cdot \frac{l_2}{2} = (p_1 \cdot l_1 + p_2 \cdot l_2) \cdot \frac{l}{2} \]
\[ \frac{p_1 \cdot p_2 \cdot l_2 - p_1^2 \cdot l'}{2} + \frac{p_2 \cdot l_2}{2} = \frac{p_1 \cdot l_1 + p_2 \cdot l_2}{2} \cdot l \]
\[ p_1 \cdot p_2 \cdot l_2 - p_1^2 \cdot l' + p_2 \cdot l_2 = (p_1 \cdot l_1 + p_2 \cdot l_2) \cdot l \]
\[ p_1 \cdot p_2 \cdot l_2 - p_1^2 \cdot l' + p_2 \cdot l_2 = p_1 \cdot l_1 \cdot l + p_2 \cdot l_2 \cdot l \]
\[ p_1 \cdot p_2 \cdot l_2 - p_1^2 \cdot l' + p_2 \cdot l_2 = p_1 \cdot l_1 \cdot l + p_2 \cdot l \cdot l_2 \]
\[ p_1 \cdot p_2 \cdot l_2 - p_1^2 \cdot l' + p_2 \cdot l_2 = p_1 \cdot l_1 \cdot l + p_2 \cdot l^2 \]
\[ p_1^2 \cdot l' = p_1 \cdot p_2 \cdot l_2 - p_2 \cdot l_2 + p_1 \cdot l_1 \cdot l + p_2 \cdot l^2 \]
\[ l' = \frac{p_1 \cdot p_2 \cdot l_2 - p_2 \cdot l_2 + p_1 \cdot l_1 \cdot l + p_2 \cdot l^2}{p_1^2} \]
\[ l' = \frac{l_2 \cdot (p_1 \cdot p_2 - p_2) + l_1 \cdot l \cdot p_1 + l_2 \cdot l \cdot p_2}{p_1^2} \]
\[ l' = \frac{l_2 \cdot (p_1 \cdot p_2 - p_2) + l_2 \cdot l \cdot p_1 + l_2 \cdot l \cdot p_2}{p_1^2} \]
\[ l' = \frac{l_2 \cdot (p_1 \cdot p_2 - p_2 + l \cdot p_1 + l \cdot p_2)}{p_1^2} \]
\[ l' = \frac{l_2 \cdot (p_1 \cdot p_2 + l \cdot p_1 + l \cdot p_2 - p_2)}{p_1^2} \]
\[ l' = \frac{l_2 \cdot (p_1 \cdot (p_2 + l) + l \cdot (p_2 - p_1))}{p_1^2} \]
\[ l' = \frac{l_2 \cdot (p_1 \cdot (p_2 + l) + l \cdot (p_2 - p_1))}{p_1^2} \]
\[ l' = \frac{l_2 \cdot (p_1 \cdot p_2 + p_1 \cdot l + l \cdot p_2 - p_1^2)}{p_1^2} \]
\[ l' = \frac{l_2 \cdot (p_1 \cdot p_2 + p_
