Răspuns:
a) Pentru a calcula \( \lim_{{x \to 1}} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \), începem prin a calcula \( f(1) \) folosind definiția funcției \( f(x) \):
\[ f(1) = e^1 - 1 = e - 1 \]
Aplicăm definiția derivatei:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (e^x - x^2) = e^x - 2x \]
Evaluăm derivata în \( x = 1 \):
\[ f'(1) = e^1 - 2 \cdot 1 = e - 2 \]
Deci, \( f'(1) = e - 2 \).
Acum putem calcula limita:
\[ \lim_{{x \to 1}} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{{x \to 1}} \frac{(e^x - x^2) - (e - 1)}{x - 1} \]
\[ = \lim_{{x \to 1}} \frac{e^x - x^2 - e + 1}{x - 1} \]
\[ = \lim_{{x \to 1}} \frac{e^x - e - x^2 + 1}{x - 1} \]
\[ = \lim_{{x \to 1}} \frac{e(e^{x-1} - 1) - (x^2 - 1)}{x - 1} \]
\[ = \lim_{{x \to 1}} \frac{e(e^{x-1} - 1)}{x - 1} - \lim_{{x \to 1}} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \]
\[ = e \lim_{{x \to 1}} \frac{e^{x-1} - 1}{x - 1} - \lim_{{x \to 1}} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \]
\[ = e \cdot f'(1) - \lim_{{x \to 1}} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \]
\[ = e(e - 2) - \lim_{{x \to 1}} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \]
\[ = e(e - 2) - \lim_{{x \to 1}} (x + 1) \]
\[ = e(e - 2) - (1 + 1) \]
\[ = e(e - 2) - 2 \]
\[ = e^2 - 4 \]
Deci, \( \lim_{{x \to 1}} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = e^2 - 4 \).
b) Imaginea funcției \( f(x) \) este intervalul \( (-\infty, \infty) \), deoarece funcția \( f(x) = e^x - x^2 \) poate lua orice valoare reală, în funcție de \( x \).
c) Pentru a demonstra \( e^x > x \) pentru orice \( x \), putem folosi expansiunea în serie Taylor a funcției \( e^x \), care este \( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \). În plus, putem folosi și faptul că \( e^x \) este o funcție strict crescătoare pentru a demonstra inegalitatea.
