Răspuns:
[tex]\boldsymbol{ \red{ MN = 6 \ cm, PQ = 9 \ cm}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
[tex]AM \equiv MB \Rightarrow AB = 2AM \Rightarrow \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AM}{2AM} = \dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]AN \equiv NC \Rightarrow AC = 2AN \Rightarrow\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{AN}{2AC} = \dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \xrightarrow[\Delta ABC]{R.T.Thales} MN \parallel BC\\[/tex]
[tex]MN \parallel BC \xrightarrow[\Delta ABC]{T.f.a.} \Delta AMN \sim \Delta ABC \Rightarrow \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC} \Rightarrow \dfrac{MN}{BC} = \dfrac{1}{2} \\[/tex]
[tex]\Rightarrow MN = \dfrac{12}{2} \Rightarrow \bf MN = 6 \ cm[/tex]
[tex]\boldsymbol{ \red{\star \star \star}}[/tex]
[tex]MP \equiv PB \Rightarrow MB = 2MP \Rightarrow AB = 4MP[/tex]
[tex]\Rightarrow AP = AM + MP = MB + MP = 3MB[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{AP}{AB} = \dfrac{3MB}{4MB} = \dfrac{3}{4}[/tex]
[tex]NQ \equiv QC \Rightarrow NC = 2NQ \Rightarrow AC = 4NQ[/tex]
[tex]\Rightarrow AQ = AN + NQ = NC + NQ = 3NQ[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{AQ}{AC} = \dfrac{3NQ}{4NQ} = \dfrac{3}{4}[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{AP}{AB} = \dfrac{AQ}{AC} \xrightarrow[\Delta ABC]{R.T.Thales} PQ \parallel BC\\[/tex]
[tex]PQ \parallel BC \xrightarrow[\Delta ABC]{T.f.a.} \Delta APQ \sim \Delta ABC \Rightarrow \dfrac{AP}{AB} = \dfrac{PQ}{BC} \Rightarrow \dfrac{PQ}{BC} = \dfrac{3}{4} \\[/tex]
[tex]\Rightarrow PQ = \dfrac{12 \cdot 3}{4} \Rightarrow \bf PQ = 9 \ cm[/tex]
✍ Reținem:
Reciproca teoremei lui Thales: Dacă o dreaptă (d), care taie două laturi sau prelungirile a două laturi ale unui triunghi, determină pe acestea segmente proporționale, atunci ea este paralelă cu a treia latură a triunghiului.
Teorema fundamentală a asemănării: O paralelă la una din laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi, sau cu prelungirile lor, un triunghi asemenea cu cel dat
Alte detalii https://brainly.ro/tema/6436329
