Răspuns :
Pentru a rezolva această problemă, vom folosi proprietățile triunghiurilor înscrise într-un cerc și relațiile geometrice în triunghiuri.
a) Pentru a afla lungimea lui BC, vom folosi teorema lui Pitagora în triunghiul ABC, deoarece este dreptunghic în A, cu AB și AC ca laturi.
Teorema lui Pitagora:
\[BC^2 = AB^2 + AC^2\]
\[BC^2 = 6^2 + 3^2\]
\[BC^2 = 36 + 9\]
\[BC^2 = 45\]
\[BC = \sqrt{45}\]
\[BC = 3\sqrt{5}\]
Deci, lungimea lui BC este \(3\sqrt{5}\) cm.
b) Pentru a arăta că ABAD și AACD sunt ciclice, trebuie să arătăm că suma măsurilor unghiurilor opuse într-un patrulater ciclic este 180 de grade.
În ABAD, unghiurile B și D sunt opuse, iar în AACD, unghiurile C și D sunt opuse.
În triunghiul ABC, avem unghiul drept în A, iar în cerc, unghiul la centru este dublul unghiului la circumferință, deci avem \(\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC\), unde O este centrul cercului. De asemenea, \(\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BDC\), deoarece \(\angle BAC\) și \(\angle BDC\) sunt unghiuri adiacente în patrulaterul ABDC.
Acum, înlocuind cu valorile noastre, pentru a arăta că ABAD și AACD sunt ciclice, trebuie să arătăm că:
\[\angle BAD + \angle DAC = 180^\circ\]
Având în vedere că \(\angle BAD = \angle BCD\) și \(\angle DAC = \angle DBC\), putem scrie:
\[\angle BCD + \angle DBC = 180^\circ\]
Și acest lucru este adevărat deoarece într-un patrulater inscris, suma măsurilor unghiurilor opuse este întotdeauna 180 de grade.
c) Pentru a afla lungimea lui AD, putem folosi teorema tangentelor externe. Această teoremă afirmă că dreptunghiul format de tangenta la un cerc și secantele care intersectează cercul din exterior este un dreptunghi. Deci, \(BD \cdot CD = AD^2\).
Știm că \(BD = DC\) deoarece sunt lungimile segmentelor tangente din același punct. Prin urmare, putem scrie:
\[BD^2 = AD^2\]
\[(3\sqrt{5})^2 = AD^2\]
\[9 \cdot 5 = AD^2\]
\[45 = AD^2\]
\[AD = \sqrt{45}\]
\[AD = 3\sqrt{5}\]
Deci, lungimea lui AD este \(3\sqrt{5}\) cm.
Astfel, am rezolvat toate cele trei părți ale problemei.
a) Pentru a afla lungimea lui BC, vom folosi teorema lui Pitagora în triunghiul ABC, deoarece este dreptunghic în A, cu AB și AC ca laturi.
Teorema lui Pitagora:
\[BC^2 = AB^2 + AC^2\]
\[BC^2 = 6^2 + 3^2\]
\[BC^2 = 36 + 9\]
\[BC^2 = 45\]
\[BC = \sqrt{45}\]
\[BC = 3\sqrt{5}\]
Deci, lungimea lui BC este \(3\sqrt{5}\) cm.
b) Pentru a arăta că ABAD și AACD sunt ciclice, trebuie să arătăm că suma măsurilor unghiurilor opuse într-un patrulater ciclic este 180 de grade.
În ABAD, unghiurile B și D sunt opuse, iar în AACD, unghiurile C și D sunt opuse.
În triunghiul ABC, avem unghiul drept în A, iar în cerc, unghiul la centru este dublul unghiului la circumferință, deci avem \(\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC\), unde O este centrul cercului. De asemenea, \(\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BDC\), deoarece \(\angle BAC\) și \(\angle BDC\) sunt unghiuri adiacente în patrulaterul ABDC.
Acum, înlocuind cu valorile noastre, pentru a arăta că ABAD și AACD sunt ciclice, trebuie să arătăm că:
\[\angle BAD + \angle DAC = 180^\circ\]
Având în vedere că \(\angle BAD = \angle BCD\) și \(\angle DAC = \angle DBC\), putem scrie:
\[\angle BCD + \angle DBC = 180^\circ\]
Și acest lucru este adevărat deoarece într-un patrulater inscris, suma măsurilor unghiurilor opuse este întotdeauna 180 de grade.
c) Pentru a afla lungimea lui AD, putem folosi teorema tangentelor externe. Această teoremă afirmă că dreptunghiul format de tangenta la un cerc și secantele care intersectează cercul din exterior este un dreptunghi. Deci, \(BD \cdot CD = AD^2\).
Știm că \(BD = DC\) deoarece sunt lungimile segmentelor tangente din același punct. Prin urmare, putem scrie:
\[BD^2 = AD^2\]
\[(3\sqrt{5})^2 = AD^2\]
\[9 \cdot 5 = AD^2\]
\[45 = AD^2\]
\[AD = \sqrt{45}\]
\[AD = 3\sqrt{5}\]
Deci, lungimea lui AD este \(3\sqrt{5}\) cm.
Astfel, am rezolvat toate cele trei părți ale problemei.
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de sprijin, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la favorite pentru acces rapid.