Răspuns:
Să determinăm dacă funcția \( f(x) = \sin^3(x) - 2\sin(x) \) este pară sau impară.
1. **Funcție pară**: O funcție este considerată pară dacă pentru orice \( x \) din domeniul său, \( f(-x) = f(x) \). Cu alte cuvinte, simetria față de axa ox. Dacă \( f(-x) = f(x) \), funcția este pară.
2. **Funcție impară**: O funcție este considerată impară dacă pentru orice \( x \) din domeniul său, \( f(-x) = -f(x) \). Adică are simetrie axială față de origine. Dacă \( f(-x) = -f(x) \), funcția este impară.
Pentru a determina că funcția dată \( f(x) = \sin^3(x) - 2\sin(x) \) este pară sau impară, vom calcula \( f(-x) \) și vom compara cu \( f(x) \).
1. Calculăm \( f(-x) \):
\( f(-x) = \sin^3(-x) - 2\sin(-x) \)
Observăm că \( \sin(-x) = -\sin(x) \).
Înlocuind în ecuație:
\( f(-x) = (-\sin(x))^3 - 2(-\sin(x)) \)
\( f(-x) = -\sin^3(x) + 2\sin(x) \)
2. Comparăm cu funcția inițială \( f(x) \):
\( f(-x) = -\sin^3(x) + 2\sin(x) \)
\( f(x) = \sin^3(x) - 2\sin(x) \)
Cele două expresii, \( f(-x) \) și \( f(x) \) nu sunt identice, dar \( f(-x) \) este opusul \( f(x) \) (adunându-le obținem zero). Astfel, funcția \( f(x) = \sin^3(x) - 2\sin(x) \) satisface condiția funcției impare: \( f(-x) = -f(x) \).
Prin urmare, putem concluziona că funcția \( f(x) = \sin^3(x) - 2\sin(x) \) este **impară**. Aceasta înseamnă că graficul său este simetric față de origine.
