Răspuns:
Pentru a rezolva această problemă, vom folosi relațiile specifice triunghiului dreptunghic ABC, precum și faptul că mediana împarte în două segmente egale.
a) Pentru a calcula raportul \(\frac{DM}{BC}\), vom folosi relația de asemănare a triunghiurilor ABC și ADM. Deoarece mediana AM împarte latura BC în două segmente egale, avem \(DM = \frac{1}{2} BC\). Deci, \(\frac{DM}{BC} = \frac{1}{2}\).
b) Pentru a calcula expresia \(\left(\frac{AB}{AC}\right)^2 + \left(\frac{AC}{AB}\right)^2\), vom folosi relațiile trigonometrice din triunghiul dreptunghic ABC.
\(AB = AC \cdot \tan(4A)\) (deoarece \(\tan(\theta) = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}\), iar în acest caz \(\text{opposite} = AC\) și \(\text{adjacent} = AB\)).
\(AC = AB \cdot \cot(4A)\) (deoarece \(\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}\)).
Înlocuind aceste valori în expresia dată, obținem:
\(\left(\frac{AB}{AC}\right)^2 + \left(\frac{AC}{AB}\right)^2 = \left(\frac{\tan(4A)}{\cot(4A)}\right)^2 + \left(\frac{\cot(4A)}{\tan(4A)}\right)^2\).
Dar \(\tan(4A) = \cot(4A)\) (deoarece \(\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}\)). Deci, expresia devine:
\(\left(\frac{\tan(4A)}{\cot(4A)}\right)^2 + \left(\frac{\cot(4A)}{\tan(4A)}\right)^2 = 2\).
Deci, \( \left(\frac{AB}{AC}\right)^2 + \left(\frac{AC}{AB}\right)^2 = 2\).
