Răspuns:
uite rezolvarea:
3+3
2
+3
3
+…+3
n
+
abc
=2024
Calculam separat 3+3^2…+3^n. Notăm suma cu s și simplificăm astfel:
�
=
3
+
3
2
+
3
3
+
…
+
3
�
3
�
=
3
2
+
3
3
+
3
4
+
…
+
3
�
+
1
3
�
−
�
=
3
�
+
1
−
3
2
�
=
3
(
3
�
−
1
)
�
=
3
(
3
�
−
1
)
2
s=3+3
2
+3
3
+…+3
n
3s=3
2
+3
3
+3
4
+…+3
n+1
3s−s=3
n+1
−3
2s=3(3
n
−1)
s=
2
3(3
n
−1)
Astfel, ecuația devine:
3
(
3
�
−
1
)
2
+
�
�
�
‾
=
2024
2
3(3
n
−1)
+
abc
=2024
Observăm că
�
�
�
(
�
�
�
‾
)
=
999
max(
abc
)=999
Și mai observam ca
�
�
�
(
�
�
�
‾
)
=
100
min(
abc
)=100
Astfel, dacă scădem 2024-999 iar 2024-100 se obține o inegalitate:
1025
<
3
(
3
�
−
1
)
2
<
1924
2050
<
3
(
3
�
−
1
)
<
3838
1025<
2
3(3
n
−1)
<1924
2050<3(3
n
−1)<3838
Împărțim ambele părți la 3 dar vom lua doar partea întreagă din împărțire ca fiind mai mică deoarece valorile lui n sunt naturale.
Prin împărțire cu 3 se obține:
683
<
3
�
−
1
<
1282
684
<
3
�
<
1283
⟹
�
=
6
683<3
n
−1<1282
684<3
n
<1283
⟹n=6
Înlocuim în ecuație pentru abc:
3
(
3
6
−
1
)
2
+
�
�
�
‾
=
2024
3
⋅
728
2
+
�
�
�
‾
=
2024
3
⋅
364
+
�
�
�
‾
=
2024
1092
+
�
�
�
‾
=
2024
�
�
�
‾
=
932
2
3(3
6
−1)
+
abc
=2024
2
3⋅728
+
abc
=2024
3⋅364+
abc
=2024
1092+
abc
=2024
abc
=932
