Răspuns:
Pentru a calcula aria suprafețelor triunghiulare folosind formula \( \frac{b \times h}{2} \), avem nevoie de baza (\( b \)) și înălțimea (\( h \)) fiecărui triunghi.
c) Pentru triunghiul ABC cu vârfurile A(-1,2), B(3,5), C(5,-1):
Baza AB: \( b = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \)
Înălțimea: Distanta de la punctul C la dreapta care trece prin B (sau de la punctul B la dreapta care trece prin C). Folosim formula distanței de la un punct la o dreaptă: \( d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \).
Dreapta care trece prin punctele A și B are ecuația: \( y = \frac{3}{2}x + \frac{7}{2} \).
Distanta de la punctul C la această dreaptă este: \( h = \frac{|3 \times 5 + 2 \times (-1) + 7|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{|15 - 2 + 7|}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{|20|}{\sqrt{13}} = \frac{20}{\sqrt{13}} \).
Aria triunghiului ABC este: \( A = \frac{b \times h}{2} = \frac{5 \times \frac{20}{\sqrt{13}}}{2} = \frac{10\sqrt{13}}{2} = 5\sqrt{13} \).
d) Pentru triunghiul ABC cu vârfurile A(a, a+1), B(2,1), C(3,2):
Baza AB: \( b = \sqrt{(2 - a)^2 + (1 - (a+1))^2} = \sqrt{(2 - a)^2 + (1 - a - 1)^2} = \sqrt{(2 - a)^2 + (-a)^2} = \sqrt{4 - 4a + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 - 4a + 4} \).
Înălțimea: Distanta de la punctul C la dreapta care trece prin B (sau de la punctul B la dreapta care trece prin C).
Dreapta care trece prin punctele A și B are ecuația: \( y = -\frac{a-1}{a-2} \cdot (x - 2) + 1 \).
Distanta de la punctul C la această dreaptă este: \( h = \frac{|-\frac{a-1}{a-2} \cdot 3 - 2 + 1|}{\sqrt{\left(-\frac{a-1}{a-2}\right)^2 + 1}} = \frac{\left|\frac{a-1}{a-2} \cdot 3 - 2 + 1\right|}{\sqrt{\left(-\frac{a-1}{a-2}\right)^2 + 1}} \).
Soluția pentru înălțime este în funcție de \( a \), iar calculul specific depinde de valoarea lui \( a \).
