În cadrul ecuației de gradul II de forma [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] cunoaștem relațiile lui Viete
[tex]s_1=x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}[/tex]
[tex]s_2=x_1x_2=\dfrac{c}{a}[/tex]
unde [tex]x_1[/tex] și [tex]x_2[/tex] sunt rădăcinile ecuației.
a)
[tex]\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_2+x_1}{x_1x_2}=\dfrac{s_1}{s_2}=\dfrac{\dfrac{m+1}{2}}{\dfrac{-3}{2}}=\dfrac{m+1}{-3}[/tex]
acest rezultat trebuie să fie 2 și atunci
[tex]\dfrac{m+1}{-3}=2\implies m+1=-6\implies \boxed{m=-7}[/tex]
b)
[tex]\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_2x_1}=\dfrac{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2}{x_2x_1}=\dfrac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\\ \\ =\dfrac{s_1^2-2s_2}{s_2}=\dfrac{\left(\dfrac{3}{6}\right)^2-2\times\dfrac{m}{6}}{\dfrac{m}{6}}=\dfrac{3-4m}{2m}[/tex]
dar asta trebuie să fie egal cu [tex]\dfrac{-7}{2}[/tex] și atunci efectuând produs menzilor cu extremilor (produsele pe diagonală) obținem
[tex](3-4m)\times 2=-7\times2m\implies6-8m=-14m\implies6m=-6\implies \boxed{m=-1}[/tex]
c)
[tex]\dfrac{x_1}{x_2^2}+\dfrac{x_2}{x_1^2}=\dfrac{x_1^3+x_2^3}{x_1^2x_2^2}=\dfrac{x_1^3+x_2^3+3x_1x_2(x_1+x_2)-3x_1x_2(x_1+x_2)}{x_1^2x_2^2}=[/tex]
[tex]=\dfrac{(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)}{(x_1x_2)^2}=\dfrac{s_1^3-3s_2s_1}{s_2^2}[/tex]
în continuare înlocuiești cele două sume cu formulele de la început
[tex]s_1=\dfrac{-b}{a}[/tex]
[tex]s_2=\dfrac{c}{a}[/tex]
unde [tex]a, b, c[/tex] sunt coeficienții ecuației tale, respectiv [tex]a=1[/tex], [tex]b=-2m[/tex], [tex]c=1[/tex]
vei obține o fracție în care singura necunoscută va fi [tex]m[/tex] și vei egala fracția cu 2 pentru că așa îți spune exercițiul, iar apoi îl calculezi pe [tex]m[/tex]
d)
[tex](x_1-2)^2+(x_2-2)^2=x_1^2-4x_1+4+x_2^2-4x_2+4=x_1^2+x_2^2-4(x_1+x_2)+8=\\\\=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2-4(x_1+x_2)+8=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-4(x_1+x_2)+8=\\\\=s_1^2-2s_2-4s_1+8[/tex]
și aici va trebui să înlocuiești sumele conform coeficienților ecuației de la punctul d) iar apoi vei egala cu [tex]m^2+6[/tex] de unde vei obține o ecuație din care îl vei putea afla pe [tex]m[/tex]
