Salut,
Avem de aflat pe D în primul rând, adică domeniul de definiție a funcției.
Orice fracție nu poate avea numitorul egal cu 0, deci x + 3 ≠ 0, adică x ≠ --3.
Asta înseamnă că funcția din enunț este definită pe întreaga mulțime R a numerelor reale, dar fără valoarea --3. Scriem asta așa:
D = (--∞, --3) U (--3, +∞).
Studiem convexitatea și/sau concavitatea unei funcții cu ajutorul derivatei a doua.
Știm formula de derivare a unei fracții:
[tex]\left(\dfrac{f}{g}\right)^{'}=\dfrac{f^{\ '}\cdot g-f\cdot g^{\ '}}{g^2}[/tex]
Începem cu prima derivată:
[tex]f(x)\ ^{'}=\left(\dfrac{x}{x+3}\right)^{'}=\dfrac{x^{'}\cdot(x+3)-x\cdot(x+3){'}}{(x+3)^2}=\\\\=\dfrac{1\cdot(x+3)-x\cdot(1+0)}{(x+3)^2}=\dfrac{x+3-x}{(x+3)^2}=\dfrac{3}{(x+3)^2}.[/tex]
Derivata a doua:
[tex]f(x)\ ^{'\ '}=(f(x)^{\ '})^{\ '}=\left(\dfrac{3}{(x+3)^2}\right)^{'}=\dfrac{3^{'}\cdot(x+3)^2-3\cdot((x+3)^2){\ '}}{(x+3)^4}=\\\\=\dfrac{0\cdot(x+3)^2-3\cdot2 \cdot(x+3)\cdot(x+3)^{'}}{(x+3)^4}=\dfrac{0-6\cdot(x+3)}{(x+3)^4}=\dfrac{(-6)\cdot(x+3)}{(x+3)^4}.[/tex]
Am lăsat în mod intenționat expresia așa (fără a mai simplifica cu x + 3), această formă a derivatei a doua ne ajută să-i analizăm mai ușor semnul (intervalele de monotonie).
La numitor avem (x + 3)⁴ = [(x + 3)²]² > 0, pentru că orice pătrat perfect este pozitiv, adică ia valori mai mari decât zero. Aici avem valori strict mai mari decât 0 (fără să fie și egal cu 0) pentru este numitorul unei fracții.
Asta înseamnă că semnul derivatei a doua este dat de numărătorul --6(x + 3).
Pentru x < --3 (nu am luat și egalul, ținem cont că funcția din enunț NU este definită pentru x = --3), avem că x + 3 < 0, deci
(--6)·(x + 3) > 0, numărătorul este deci pozitiv, adică derivata a doua este pozitivă, asta înseamnă că pe intervalul (--∞, --3) funcția din enunț este convexă (adică "ține apa").
Pentru x > --3 (nu am luat și egalul, ținem cont că funcția din enunț NU este definită pentru x = --3), avem că x + 3 > 0, deci
(--6)·(x + 3) < 0, numărătorul este deci negativ, adică derivata a doua este negativă, asta înseamnă că pe intervalul (--3, +∞) funcția din enunț este concavă (adică "nu ține apa")..
Sper să vă ajute !
Green eyes.
