Răspuns:
Vom utiliza formula pentru suma produselor într-o progresie geometrică pentru a demonstra această egalitate.
Presupunem că \( S = \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x \cdot \ldots \cdot \cos 2^n x \).
Atunci, \( \sin 2x = 2 \cos x \sin x \) și \( \sin 4x = 2 \cos 2x \sin 2x = 4 \cos x \cos 2x \sin x \).
Continuând, \( \sin 8x = 2 \cos 4x \sin 4x = 8 \cos x \cos 2x \cos 4x \sin x \), și așa mai departe.
\( \sin 2^{k+1} x = 2^{k+1} \cos x \cos 2x \cos 4x \ldots \cos 2^k x \sin x \).
Astfel, \( S = \frac{\sin 2x}{2 \sin x} \cdot \frac{\sin 4x}{4 \sin x} \cdot \frac{\sin 8x}{8 \sin x} \cdot \ldots \cdot \frac{\sin 2^{n+1} x}{2^{n+1} \sin x} \).
Observăm că toți termenii de mai sus, cu excepția primului și ultimului, se simplifică:
=> \( S = \frac{\sin 2^{n+1} x}{2^{n+1} \sin x} \).
=>Am demonstrat că \( S = \frac{\sin 2^{n+1} x}{2^{n+1} \sin x} \), ceea ce reprezintă egalitatea pe care trebuia să o demonstrăm.
Explicatie pas cu pas:
Vom începe cu ecuația pe care trebuie să o demonstrăm:
\[ \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x \cdot \ldots \cdot \cos 2^n x = \frac{\sin 2^{n+1} x}{2^{n+1} \sin x} \]
Pasul 1: Folosim formula pentru sin2x pentru a obține expresiile pentru sin4x, sin8x etc.:
\[ \sin 2x = 2 \cos x \sin x \]
\[ \sin 4x = 2 \cos 2x \sin 2x = 4 \cos x \cos 2x \sin x \]
\[ \sin 8x = 2 \cos 4x \sin 4x = 8 \cos x \cos 2x \cos 4x \sin x \]
și continuăm această procedură pentru fiecare termen înmulțit cu \(\cos\).
Pasul 2: Obținem o formulă generală pentru sin2^(k+1)x:
\[ \sin 2^{k+1} x = 2^{k+1} \cos x \cos 2x \cos 4x \ldots \cos 2^k x \sin x \]
Pasul 3: Folosind aceste expresii, putem scrie ecuația noastră inițială astfel:
\[ S = \frac{\sin 2x}{2 \sin x} \cdot \frac{\sin 4x}{4 \sin x} \cdot \frac{\sin 8x}{8 \sin x} \cdot \ldots \cdot \frac{\sin 2^{n+1} x}{2^{n+1} \sin x} \]
Pasul 4: Observăm că majoritatea termenilor din numeratoare și din numitor se anulează reciproc, lăsându-ne cu:
\[ S = \frac{\sin 2^{n+1} x}{2^{n+1} \sin x} \]
Aceasta reprezintă egalitatea pe care trebuia să o demonstrăm.
SPER CA TE-AM AJUTAT!
