Răspuns:
a) Pentru a rezolva această problemă, vom denumi vârsta lui George ca fiind \(x\) ani și vârsta lui Luca ca fiind \(y\) ani. Știm că suma vârstelor lor este 21 de ani, deci avem ecuația:
\[ x + y = 21 \]
Și știm că acum trei ani, vârsta lui Luca era jumătate din vârsta lui George, deci avem ecuația:
\[ y - 3 = \frac{1}{2}(x - 3) \]
Putem rezolva acest sistem de ecuații pentru a găsi vârstele lor. Vom începe prin a rezolva prima ecuație pentru \(x\) și apoi o vom substitui în a doua ecuație pentru a găsi \(y\):
Din prima ecuație:
\[ x = 21 - y \]
Substituind această valoare pentru \(x\) în a doua ecuație:
\[ y - 3 = \frac{1}{2}((21 - y) - 3) \]
\[ y - 3 = \frac{1}{2}(18 - y) \]
\[ y - 3 = 9 - \frac{1}{2}y \]
\[ \frac{3}{2}y = 6 \]
\[ y = 4 \]
Acum, vom înlocui valoarea lui \(y\) în prima ecuație pentru a găsi \(x\):
\[ x = 21 - 4 \]
\[ x = 17 \]
Deci, George are 17 ani și Luca are 4 ani acum.
b) Pentru a afla peste câți ani vârsta lui Luca va fi două treimi din vârsta lui George, vom numi numărul de ani peste care trecem ca fiind \(t\).
Deci, peste \(t\) ani, vârsta lui Luca va fi \(4 + t\) iar vârsta lui George va fi \(17 + t\). Știm că atunci vârsta lui Luca va fi două treimi din vârsta lui George, deci avem ecuația:
\[ 4 + t = \frac{2}{3}(17 + t) \]
Vom rezolva această ecuație pentru \(t\):
\[ 4 + t = \frac{2}{3}(17 + t) \]
\[ 4 + t = \frac{2}{3}(17) + \frac{2}{3}t \]
\[ 4 + t = \frac{34}{3} + \frac{2}{3}t \]
\[ \frac{1}{3}t = \frac{34}{3} - 4 \]
\[ \frac{1}{3}t = \frac{34 - 12}{3} \]
\[ \frac{1}{3}t = \frac{22}{3} \]
\[ t = 22 \]
Deci, peste 22 de ani vârsta lui Luca va fi două treimi din vârsta lui George.
