Pentru a demonstra că centrul cercului circumscris, centrul cercului înscris, ortocentrul și centrul de greutate ale unui triunghi isoscel sunt coliniare, putem folosi proprietățile geometrice ale acestor puncte.
Centrul cercului circumscris (O): Este punctul de intersecție al dreptelor care sunt mijloacele arcelor triunghiului.
Centrul cercului înscris (I): Este punctul de intersecție al bisectoarelor unghiilor triunghiului.
Ortocentrul (H): Este punctul de intersecție al înălțimilor triunghiului, adică dreptele care trec prin vârfuri și sunt perpendiculare pe laturile opuse.
Centrul de greutate (G): Este punctul de intersecție al medianelor triunghiului, adică segmentele care unesc vârfurile triunghiului cu mijloacele laturilor opuse.
Pentru un triunghi isoscel, ortocentrul și centrul de greutate coincid cu vârful triunghiului, deoarece medianele și înălțimile corespunzătoare coincid. Deci, pentru a demonstra coliniaritatea acestor puncte, trebuie să arătăm că centrul cercului circumscris și centrul cercului înscris se află și ei pe aceeași linie cu ortocentrul și centrul de greutate.
O modalitate de a demonstra acest lucru este să folosim teorema lui Euler, care spune că ortocentrul, centrul cercului circumscris și centrul cercului înscris al unui triunghi sunt coliniare, iar distanța dintre oricare două dintre aceste puncte este egală cu distanța dintre oricare alte două. Astfel, centrul de greutate trebuie să fie și el pe aceeași linie cu celelalte trei puncte.
Prin urmare, într-un triunghi isoscel, toate cele patru puncte - centrul cercului circumscris, centrul cercului înscris, ortocentrul și centrul de greutate - sunt coliniare.
