Pentru a demonstra aceste afirmații, vom folosi proprietățile medianei și relația de congruență a triunghiurilor.
a) Pentru a arăta că triunghiul ABD este congruent cu triunghiul CDE, vom folosi criteriul LUL (latură - unghi - latură):
1. AD este mediană, deci împarte latura BC în două segmente egale. Deci, BD = DC.
2. DE = AD (dată în enunț).
3. D aparține lui AE (dată în enunț).
Acum, avem:
- BD = DC (mediana AD)
- DE = AD (dată)
- unghiul BAD este congruent cu unghiul CDE (deoarece sunt unghiuri opuse la vârf)
Astfel, avem LUL, care implică că triunghiul ABD este congruent cu triunghiul CDE.
b) Pentru a arăta că triunghiul ABC este congruent cu triunghiul BCE, vom folosi aceleași proprietăți ca mai sus:
1. BD = DC (mediana AD)
2. DE = AD (dată în enunț)
3. D aparține lui AE (dată în enunț)
De asemenea, avem:
- AB = BC (dată)
- unghiul ABC este congruent cu unghiul ECB (deoarece sunt unghiuri opuse la vârf)
Așadar, avem LUL, ceea ce implică că triunghiul ABC este congruent cu triunghiul BCE.
c) Pentru a demonstra că ABEC este un paralelogram, trebuie să arătăm că laturile opuse sunt paralele și că laturile opuse sunt egale.
1. Avem AB = BC și AE = EC (deja demonstrat în baza congruenței triunghiurilor).
2. Mai avem DE = AD (dată în enunț).
Deci, dacă AB = BC și AE = EC, iar DE = AD (mediana), atunci laturile opuse ale paralelogramului ABEC sunt egale.
De asemenea, deoarece AD este mediană, punctul D împarte segmentul AE în două părți egale, ceea ce implică că ABEC este un paralelogram.
