Pentru a demonstra aceste afirmații, vom folosi proprietățile triunghiurilor și relațiile de congruență între segmente și unghiuri.
a) Demonstrația că triunghiul \(PBC\) este isoscel:
Deoarece \(BD\) este congruent cu \(CE\), avem:
\[
\angle BDC \cong \angle CEB
\]
De asemenea, deoarece \(BC\) este latura comună, putem afirma că:
\[
\angle CBD \cong \angle ECB
\]
Și, prin urmare, triunghiurile \(BCD\) și \(BEC\) sunt congruente după criteriul LAL (latură - unghi - latură).
Aceasta implică că:
\[
BC \cong BC \quad \text{(latura comună)}
\]
\[
BD \cong CE \quad \text{(dat)}
\]
\[
\angle BCD \cong \angle BEC \quad \text{(din congruența triunghiurilor)}
\]
Deci, triunghiul \(PBC\) este isoscel.
b) Demonstrația că semidreapta \(AP\) este bisectoarea unghiului \(BAC\):
Pentru a demonstra că semidreapta \(AP\) este bisectoarea unghiului \(BAC\), trebuie să arătăm că:
\[
\frac{{\angle BAP}}{{\angle CAP}} = \frac{{AB}}{{AC}}
\]
Dar, deoarece \(BD\) este congruent cu \(CE\) și \(\angle BDC \cong \angle CEB\), triunghiurile \(BCD\) și \(BEC\) sunt congruente după criteriul LAL.
Aceasta implică că \(BP\) este congruent cu \(CP\). Așadar, avem:
\[
\frac{{BP}}{{CP}} = 1
\]
Deoarece \(BP = CP\), folosim teorema unghiului întins pentru a deduce că \(AP\) este bisectoarea unghiului \(\angle BAC\). Aceasta este deoarece unghiurile dintre cele două semidrepte congruente sunt egale, ceea ce confirmă că semidreapta \(AP\) este într-adevăr bisectoarea unghiului \(\angle BAC\).
