Explicație pas cu pas:
Pentru a demonstra că triunghiul (DEF) este echilateral, putem utiliza proprietățile triunghiului echilateral (ABC) și faptul că punctele (D), (E), și (F) sunt selectate astfel încât (AD = BE = CF).
Pentru început, să notăm cu (l) lungimea laturii triunghiului echilateral (ABC). Astfel, avem că lungimea fiecărei laturi ale triunghiului (ABC) este (l).Deoarece (AD = BE = CF), putem spune că fiecare din aceste segmente reprezintă aceeași fracție din lungimea laturii pe care se găsesc.
Să notăm această lungime comună cu (x).Deci, (AD = BE = CF = x).
Deoarece triunghiul (ABC) este echilateral, unghiurile sale interne sunt toate de (60^\circ). Acest lucru înseamnă că liniile trasate de la (D) la (E), de la (E) la (F), și de la (F) la (D) formează unghiuri interne de (60^\circ) în punctele (A), (B), și (C), respectiv.Prin urmare, avem că:Lungimea segmentului (DB) este (l - x), deoarece (AD = x) și lungimea (AB = l).Similar, lungimea segmentului (EC) este (l - x), deoarece (BE = x) și lungimea (BC = l).
În mod similar, lungimea segmentului (FA) este (l - x), deoarece (CF = x) și lungimea (AC = l).De asemenea, deoarece triunghiul (ABC) este echilateral, liniile trasate pentru a forma segmentele (DE), (EF), și (FD) sunt simetrice și echidistante față de vârfurile triunghiului echilateral inițial. Acest lucru înseamnă că aceste segmente formează, de asemenea, unghiuri de (60^\circ) la punctele (D), (E), și (F), ceea ce sugerează că triunghiul (DEF) este echilateral.
Acest argument se bazează pe proprietățile geometrice ale triunghiurilor echilaterale și pe simetria creată prin alegerea punctelor (D), (E), și (F) în modul descris. Astfel, triunghiul (DEF) este echilateral deoarece laturile sale sunt egale ca lungime datorită construcției simetrice pe laturile triunghiului echilateral (ABC), și unghiurile interne ale triunghiului (DEF) sunt, de asemenea, egale, fiecare fiind de (60^\circ), respectând definiția unui triunghi echilateral.
