Pentru a rezolva aceste expresii, vom efectua operațiile în ordinea corectă, respectând prioritățile operatorilor. Vom folosi notația "a", "b", "c" și "d" pentru a corespunde fiecărei expresii.
a)
\[ \left[ 3^{12} \cdot (-9^5) \cdot (-27)^2 \right]^2 : \left( 9^3 \right)^9 \]
\[ = \left[ 3^{12} \cdot (-9^5) \cdot 27^2 \right]^2 : 9^{27} \]
\[ = \left[ 3^{12} \cdot (-9^5) \cdot 729 \right]^2 : 9^{27} \]
\[ = \left[ 3^{12} \cdot (-9^5) \cdot 729 \right]^2 : (3^2)^{27} \]
\[ = \left[ 3^{12} \cdot (-9^5) \cdot 729 \right]^2 : 3^{54} \]
\[ = \left[ 3^{12} \cdot (-9^5) \cdot 729 \right]^2 : 3^{54 - 12} \]
\[ = \left[ 3^{12} \cdot (-9^5) \cdot 729 \right]^2 : 3^{42} \]
\[ = \left[ 3^{12} \cdot (-9^5) \cdot 729 \right]^2 : (3^6)^7 \]
\[ = \left[ 3^{12} \cdot (-9^5) \cdot 729 \right]^2 : 3^{42} \]
\[ = \left[ 3^{12} \cdot (-9^5) \cdot 729 \right]^2 : 3^{42} \]
\[ = \left[ 3^{12} \cdot (-9^5) \cdot 729 \right]^2 \div 3^{42} \]
\[ = \frac{(3^{12} \cdot (-9^5) \cdot 729)^2}{3^{42}} \]
Pentru a calcula această expresie, vom împărți puterile cu aceeași bază și vom aduna exponentele:
\[ = \frac{3^{24} \cdot (-9^{10}) \cdot 729^2}{3^{42}} \]
\[ = \frac{3^{24 - 42} \cdot (-9^{10}) \cdot 729^2}{1} \]
\[ = 3^{-18} \cdot (-9^{10}) \cdot 729^2 \]
\[ = 3^{-18} \cdot (-9^{10}) \cdot (27^2)^2 \]
\[ = 3^{-18} \cdot (-9^{10}) \cdot 27^4 \]
\[ = \frac{-9^{10} \cdot 3^{2 \cdot 4}}{3^{18}} \]
\[ = \frac{-9^{10} \cdot 3^8}{3^{18}} \]
\[ = \frac{-9^{10}}{3^{10}} \]
\[ = \frac{-(3^2)^{10}}{3^{10}} \]
\[ = \frac{-(3^{20})}{3^{10}} \]
\[ = -3^{20 - 10} \]
\[ = -3^{10} \]
\[ \text{Deci, rezultatul este: } -3^{10} \]
b)
\[ \frac{[4^2 \cdot (-2)^5 : 8]^2}{(-16)^3} \]
\[ = \frac{[(16) \cdot (-32) : 8]^2}{(-16)^3} \]
\[ = \frac{(16 \cdot -4)^2}{(-16)^3} \]
\[ = \frac{(-64)^2}{(-16)^3} \]
\[ = \frac{4096}{-4096} \]
\[ \text{Deci, rezultatul este: } -1 \]
c)
\[ \frac{(-2^3)^{40}}{[(-2)^2 \cdot 27 \cdot 8^{30}]} \]
\[ = \frac{(-8)^{40}}{[4 \cdot 27 \cdot 8^{30}]} \]
\[ = \frac{2^{120}}{4 \cdot 27 \cdot 8^{30}} \]
\[ = \frac{2^{120}}{4 \cdot 27 \cdot 2^{90}} \]
\[ = \frac{2^{120 - 90}}{4 \cdot 27} \]
\[ = \frac{2^{30}}{4 \cdot 27} \]
\[ = \frac{2^{30}}{108} \]
\[ \text{Deci, rezultatul este: } \frac{2^{30}}{108} \]
d)
\[ \frac{(-5^3)^{11}}{[(-25)^8 \cdot 125^5]} \]
\[ = \frac{(-125)^{11}}{[(-25)^8 \cdot (5^3)^5]} \]
\[ = \frac{(-125)^{11}}{(-25)^8 \cdot 5^{15}} \]
\[ = \frac{(-125)^3 \cdot (-125)^8}{(-25)^8 \cdot 5^{15}} \]
\[ = \frac{-125^3}{5^{15}} \]
\[ = \frac{-(5^3)^3}{5^{15}} \]
\[ = \frac{-5^9}{5^{15}} \]
\[ = \frac{-5^{9 - 15}}{1} \]
\[ = -5^{-6} \]
\[ \text{Deci, rezultatul este: } -5^{-6} \]
