Explicație pas cu pas:
Pentru ca polinomul \( f(x) = x^3 - 2x^2 + (m + 1)x + m - 1 \) să dea restul 1 la împărțirea cu \( x + 2 \), putem folosi teorema restului. Aceasta afirmă că dacă un polinom \( f(x) \) este împărțit la \( x - c \), atunci restul este egal cu \( f(c) \).
Pentru \( f(x) = x^3 - 2x^2 + (m + 1)x + m - 1 \), vrem ca \( f(-2) = 1 \).
Calculăm:
\[ f(-2) = (-2)^3 - 2(-2)^2 + (m + 1)(-2) + m - 1 \]
\[ = -8 - 8 - 2m - 2 + m - 1 \]
\[ = -17 - m \]
Trebuie să avem \( -17 - m = 1 \) pentru ca \( f(x) \) să dea restul 1 la împărțirea cu \( x + 2 \).
Rezolvăm ecuația:
\[ -17 - m = 1 \]
\[ m = -17 - 1 \]
\[ m = -18 \]
Deci, \( m = -18 \) pentru ca \( f(x) = x^3 - 2x^2 + (m + 1)x + m - 1 \) să dea restul 1 la împărțirea cu \( x + 2 \).
