Răspuns:
Pentru a rezolva problema, putem folosi teorema lui Pitagora și proprietățile triunghiului isoscel.
a) Pentru a arăta că \( DE = 12\sqrt{7} \) cm, putem folosi teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \( \triangle BED \), deoarece \( DE \) este diagonala unui dreptunghi. Avem:
\[ DE^2 = BD^2 - BE^2 \]
Dar deoarece \( BE \) este jumătate din \( BC \), \( BE = \frac{BC}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) cm. Și deoarece \( BD = AB = 30 \) cm, avem:
\[ DE^2 = 30^2 - (6\sqrt{3})^2 \]
\[ DE^2 = 900 - 108 = 792 \]
\[ DE = \sqrt{792} = 12\sqrt{7} \) cm
Deci am arătat că \( DE = 12\sqrt{7} \) cm.
b) Pentru a determina măsura unghiului \( DFE \), observăm că triunghiul \( \triangle ADE \) este isoscel, deoarece \( AD = AE \) fiind diagonalele unui dreptunghi. Așadar, avem \( \angle ADE = \angle AED \).
Și deoarece \( AF = 12 \) cm și \( AB = 30 \) cm, putem folosi teorema sinusului în \( \triangle AEF \) pentru a găsi măsura lui \( \angle AFE \):
\[ \frac{\sin(\angle AFE)}{AF} = \frac{\sin(\angle AEF)}{AE} \]
\[ \frac{\sin(\angle AFE)}{12} = \frac{\sin(\angle AED)}{15} \]
Dar deoarece \( \angle AFE + \angle AED = 90^\circ \), putem scrie \( \sin(\angle AFE) = \cos(\angle AED) \), deci:
\[ \frac{\cos(\angle AED)}{12} = \frac{\sin(\angle AED)}{15} \]
\[ 15\cos(\angle AED) = 12\sin(\angle AED) \]
\[ 15\cos(\angle AED) = 12\cos(\angle AED) \]
Din aceasta obținem:
\[ \cos(\angle AED) = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} \]
Așadar, \( \angle AED = \arccos\left(\frac{5}{4}\right) \). Știind că \( \angle ADE = \angle AED \), măsura unghiului \( DFE \) este dublul acestei măsuri:
\[ \angle DFE = 2 \cdot \arccos\left(\frac{5}{4}\right) \]
Aceasta este valoarea exactă a unghiului \( DFE \).
