Răspuns:
Pentru a rezolva problema:
a) Pentru a arăta că triunghiul ABC este similar cu triunghiul AMN, trebuie să arătăm că rapoartele lungimilor laturilor sunt egale în ambele triunghiuri.
Avem:
AB = 8 cm, AM = 4 cm, deci AB/AM = 8/4 = 2,
AC = 12 cm, AN = 6 cm, deci AC/AN = 12/6 = 2,
BC = 16 cm, MN = 16 cm, deci BC/MN = 16/16 = 1.
Pentru a avea similaritate între triunghiuri, rapoartele laturilor trebuie să fie egale, ceea ce este adevărat în acest caz.
b) Calculăm lungimea segmentului MN folosind teorema unghiului întregului triunghi:
În triunghiul ABC:
AB^2 + BC^2 = AC^2
8^2 + 16^2 = 12^2
64 + 256 = 144
320 = 144
În triunghiul AMN:
AM^2 + MN^2 = AN^2
4^2 + MN^2 = 6^2
16 + MN^2 = 36
MN^2 = 36 - 16
MN^2 = 20
Deci, MN = √20 = 2√5 cm.
