Răspuns :
. Folosind definiția factorialului și proprietățile acestuia, putem reduce expresiile la forme mai simple.
1. \( (x-5)! \) poate fi scris ca \( (x-5)(x-6)(x-7)...(2)(1) \).
2. \( (x-2-5)! \) poate fi scris ca \( (x-7)! \).
3. \( x! \) poate fi scris ca \( x(x-1)(x-2)...(2)(1) \).
Înlocuim acum aceste expresii în inegalitatea inițială:
\[ 6(x-5)! \times \frac{x-2}{(x-2-5)!} \leq x! \]
\[ 6(x-5)(x-6)(x-7)...(2)(1) \times \frac{x-2}{(x-7)!} \leq x(x-1)(x-2)...(2)(1) \]
Observăm că multe dintre termeni se anulează între ele. De exemplu, \( (x-2) \) din numărător și din \( x(x-1)(x-2) \) din numitor. Așadar, acești termeni pot fi simplificați. De asemenea, se anulează majoritatea termenilor din \( (x-5)! \) și \( (x-7)! \). În final, inegalitatea devine:
\[ 6(x-5) \leq x(x-1) \]
Putem expanda această inegalitate și rezolva ecuația pentru a găsi intervalul de valori al lui \( x \). După aceea, vom verifica care interval satisface inegalitatea inițială.
\[ 6x - 30 \leq x^2 - x \]
Reordonând termenii:
\[ 0 \leq x^2 - 7x + 30 \]
Acum putem rezolva ecuația pentru a găsi intervalele de valori ale lui \( x \). Însă, pentru a obține soluția inegalității inițiale, este nevoie să verificăm dacă această soluție este inclusă în intervalul inițial.
1. \( (x-5)! \) poate fi scris ca \( (x-5)(x-6)(x-7)...(2)(1) \).
2. \( (x-2-5)! \) poate fi scris ca \( (x-7)! \).
3. \( x! \) poate fi scris ca \( x(x-1)(x-2)...(2)(1) \).
Înlocuim acum aceste expresii în inegalitatea inițială:
\[ 6(x-5)! \times \frac{x-2}{(x-2-5)!} \leq x! \]
\[ 6(x-5)(x-6)(x-7)...(2)(1) \times \frac{x-2}{(x-7)!} \leq x(x-1)(x-2)...(2)(1) \]
Observăm că multe dintre termeni se anulează între ele. De exemplu, \( (x-2) \) din numărător și din \( x(x-1)(x-2) \) din numitor. Așadar, acești termeni pot fi simplificați. De asemenea, se anulează majoritatea termenilor din \( (x-5)! \) și \( (x-7)! \). În final, inegalitatea devine:
\[ 6(x-5) \leq x(x-1) \]
Putem expanda această inegalitate și rezolva ecuația pentru a găsi intervalul de valori al lui \( x \). După aceea, vom verifica care interval satisface inegalitatea inițială.
\[ 6x - 30 \leq x^2 - x \]
Reordonând termenii:
\[ 0 \leq x^2 - 7x + 30 \]
Acum putem rezolva ecuația pentru a găsi intervalele de valori ale lui \( x \). Însă, pentru a obține soluția inegalității inițiale, este nevoie să verificăm dacă această soluție este inclusă în intervalul inițial.
Răspuns:
Pentru a rezolva această inecuație, vom începe prin a simplifica expresiile factoriale și apoi vom analiza condițiile de valabilitate ale inegalității.
Expresia dată este:
\[ \frac{6 \times (x-5)! \times (x-2)}{(x-2-5)!} \leq x! \]
Putem simplifica factorialele:
\[ (x-5)! = (x-5) \times (x-6) \times \ldots \times 2 \times 1 \]
\[ (x-2)! = (x-2) \times (x-3) \times \ldots \times 2 \times 1 \]
Deci, inegalitatea devine:
\[ \frac{6 \times (x-5) \times (x-4) \times \ldots \times 2 \times 1 \times (x-2)}{(x-7)!} \leq (x-1) \times (x-2) \times \ldots \times 2 \times 1 \]
Putem simplifica:
\[ (x-2) \times (x-3) \times \ldots \times 2 \times 1 \]
Folosind același principiu pentru ambele părți ale inegalității, obținem:
\[ (x-5) \times (x-4) \times \ldots \times 2 \times 1 \times (x-2) \leq (x-1) \times (x-2) \times \ldots \times 2 \times 1 \]
Se observă că multe termeni se anulează, iar inegalitatea simplificată este:
\[ (x-5) \leq (x-1) \]
Pentru a rezolva această inegalitate, putem elimina parantezele și așezăm termenii cu \( x \) pe o parte:
\[ x - 5 \leq x - 1 \]
Scădem \( x \) din ambele părți pentru a izola constanta:
\[ -5 \leq -1 \]
Această inegalitate este adevărată pentru orice valoare reală a lui \( x \), deoarece \( -5 \) este mai mic sau egal cu \( -1 \). Deci, soluția pentru inecuația dată este \( (-\infty, +\infty) \), adică intervalul întreg al numerelor reale.
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de sprijin, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la favorite pentru acces rapid.