Pentru a demonstra că ( DE = DB ) și pentru a calcula perimetrul triunghiului ( CDE ), vom folosi proprietățile triunghiurilor și teoremele geometrice.
a) Demonstrarea că ( DE = DB ): Din datele problemei, avem că ( \angle CAD = \angle BAD ) și ( \angle ADE = \angle ADB ), ceea ce înseamnă că triunghiurile ( CAD ) și ( BAD ) sunt triunghiuri isoscele cu bazele ( CD ) și ( BD ) respectiv. De asemenea, avem că ( \angle ADE = \angle ADB ), ceea ce implică faptul că ( AD ) este bisectoarea unghiului ( A ) și, prin urmare, ( DE = DB ) deoarece într-un triunghi isoscel, bisectoarea unghiului de la vârful unghiului inegal împarte baza în două segmente egale.
b) Calculul perimetrului triunghiului ( CDE ): Pentru a calcula perimetrul triunghiului ( CDE ), trebuie să adunăm lungimile laturilor sale: [ P_{CDE} = CD + DE + EC ]
Având în vedere că ( DE = DB ) și cunoscând lungimile laturilor ( AB ), ( BC ), și ( AC ), putem determina lungimea lui ( DE ) (care este egală cu ( DB )) prin scăderea lungimii lui ( AB ) din lungimea lui ( AC ): [ DE = DB = AC - AB = 7 \text{ cm} - 5 \text{ cm} = 2 \text{ cm} ]
Lungimea lui ( CD ) este jumătate din lungimea lui ( BC ) deoarece ( \angle CAD = \angle BAD ) și triunghiul ( ABC ) este isoscel: [ CD = \frac{BC}{2} = \frac{10 \text{ cm}}{2} = 5 \text{ cm} ]
Acum putem calcula perimetrul triunghiului ( CDE ): [ P_{CDE} = CD + DE + EC = 5 \text{ cm} + 2 \text{ cm} + 7 \text{ cm} = 14 \text{ cm} ]
Deci, perimetrul triunghiului ( CDE ) este ( 14 ) cm. În concluzie, am demonstrat că ( DE = DB ) și am calculat perimetrul triunghiului ( CDE ) ca fiind ( 14 ) cm.
