Explicație pas cu pas:
Pentru a arăta că există o infinitate de puncte \( P \) care respectă condiția dată, putem utiliza teorema lui Fermat sau principiul lui Fermat, care afirmă că în orice punct din interiorul unui poligon convex, suma distanțelor de la acel punct la laturile poligonului este minimă atunci când punctul este punctul de intersecție al diagonalelor.
Deci, pentru orice patrulater convex \( ABCD \), există un punct \( P \) în interiorul acestuia pentru care suma \( |PA - PB| + |PC - PD| \) este minimă.
Mai precis, dacă ne gândim la o diagonală a patrulaterului \( ABCD \), să zicem \( AC \), și considerăm punctul de intersecție al diagonalelor \( AC \) și \( BD \), acesta este punctul care minimizează suma cerută. Dar deoarece patrulaterul este convex, orice punct de pe \( AC \) este la fel de bun ca punctul de intersecție al diagonalelor, deci există o infinitate de puncte care respectă enunțul dat.
