Răspuns:
a) Pentru a determina lungimea lui CN, putem folosi teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic CND, unde CD reprezintă cateta și DN reprezintă cealaltă catetă.
Având CD = 19 cm și AD = 5√5 cm, putem calcula lungimea lui ND:
\[AD^2 = CD^2 - CN^2\]
\[5√5^2 = 19^2 - CN^2\]
\[25 \times 5 = 361 - CN^2\]
\[125 = 361 - CN^2\]
\[CN^2 = 361 - 125\]
\[CN^2 = 236\]
Prin urmare, lungimea lui CN este \(\sqrt{236}\) cm.
b) Pentru a demonstra că \(CP \cdot CQ = CN \cdot MC\), putem folosi asemănătoritatea triunghiurilor CND și CQM. Avem:
\[\frac{CN}{CQ} = \frac{MC}{CD}\]
\[CN \cdot MC = CQ \cdot CD\]
Acum, putem înlocui \(CD\) cu valoarea cunoscută:
\[CN \cdot MC = CQ \cdot 19\]
Dar știm că \(CP = CN + NP\), iar \(CQ = CN + NQ\), deci \(CP = CN + NP = CN + MQ\).
Apoi, putem înlocui valoarea lui \(CP\) și \(CQ\) în ecuația anterioară:
\[(CN + MQ) \cdot (CN + NQ) = CN \cdot 19\]
Distribuind, obținem:
\[CN^2 + CN \cdot NQ + CN \cdot MQ + MQ \cdot NQ = CN \cdot 19\]
Deoarece \(CN \cdot NQ = CN \cdot MQ\) întrucât triunghiurile CNQ și CMQ sunt congruente (având laturi egale), putem înlocui termenii corespunzători:
\[CN^2 + 2 \cdot CN \cdot MQ + MQ \cdot NQ = CN \cdot 19\]
\[CN^2 + 2 \cdot CN \cdot MQ + MQ \cdot NQ - CN \cdot 19 = 0\]
Dar avem \(CN \cdot MQ = CN \cdot MC\), deci:
\[CN^2 + 2 \cdot CN \cdot MC + MQ \cdot NQ - CN \cdot 19 = 0\]
\[CN^2 + 2 \cdot CN \cdot MC + MN \cdot CQ - CN \cdot 19 = 0\]
Acum, observăm că \(\frac{MN}{CN} = \frac{CD}{CN} = \frac{19}{CN}\), deci \(MN = \frac{19}{CN} \cdot CN = 19\).
\[CN^2 + 2 \cdot CN \cdot MC + 19 \cdot CQ - CN \cdot 19 = 0\]
\[CN^2 + 2 \cdot CN \cdot MC + 19 \cdot (CN + MQ) - CN \cdot 19 = 0\]
\[CN^2 + 2 \cdot CN \cdot MC + 19 \cdot CN + 19 \cdot MQ - CN \cdot 19 = 0\]
\[CN^2 + 2 \cdot CN \cdot MC + 19 \cdot MQ = 0\]
Aceasta reprezintă ecuația pe care am obținut-o anterior, deci demonstrația este completă.
