Răspuns:
Pentru a calcula aceste valori, vom folosi proprietățile geometrice ale piramidei triunghiulare.
a) Pentru a calcula sinusul unghiului diedru determinat de planele (SAD) și (SAB), mai întâi trebuie să găsim lungimea laturii AD și apoi să aplicăm formula pentru sinusul unghiului diedru.
Având în vedere că D este mijlocul laturii BC, avem:
\[ AD = \frac{1}{2} \times BC \]
\[ BC = AB = 12\sqrt{3} \]
\[ AD = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \]
Acum putem calcula sinusul unghiului diedru folosind formula:
\[ \sin(\theta) = \frac{SA}{\sqrt{SA^2 + AD^2}} \]
\[ \sin(\theta) = \frac{4\sqrt{13}}{\sqrt{(4\sqrt{13})^2 + (6\sqrt{3})^2}} \]
\[ \sin(\theta) = \frac{4\sqrt{13}}{\sqrt{208 + 108}} \]
\[ \sin(\theta) = \frac{4\sqrt{13}}{\sqrt{316}} \]
\[ \sin(\theta) = \frac{4\sqrt{13}}{2\sqrt{79}} \]
\[ \sin(\theta) = \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{79}} \]
b) Pentru a calcula distanța de la D la planul (SAB), putem folosi înălțimea piramidei și apoi să o proiectăm pe planul (SAB). Deoarece avem o piramidă regulată, înălțimea este perpendiculară pe baza AB și trece prin vârful piramidei S.
\[ H = \sqrt{SA^2 - (\frac{1}{2} AB)^2} \]
\[ H = \sqrt{(4\sqrt{13})^2 - (\frac{1}{2} \times 12\sqrt{3})^2} \]
\[ H = \sqrt{208 - 108} \]
\[ H = \sqrt{100} = 10 \]
Astfel, distanța de la D la planul (SAB) este egală cu înălțimea piramidei, adică \( 10 \) cm.
