Răspuns:
Pentru a determina cifra a astfel încât numărul 111...11a (cu 2023 de cifre de 1) să fie divizibil cu 13, putem folosi proprietatea că un număr este divizibil cu 13 dacă și numai dacă diferența dintre suma cifrelor de pe pozițiile pare și suma cifrelor de pe pozițiile impare este divizibilă cu 13.
În acest caz, avem 2023 de cifre de 1, deci putem împărți aceste cifre în două grupuri: cele de pe pozițiile pare și cele de pe pozițiile impare.
Suma cifrelor de pe pozițiile pare este 1 + 1 + 1 + ... + 1 (1011 de cifre de 1), iar suma cifrelor de pe pozițiile impare este 1 + 1 + 1 + ... + 1 (1012 de cifre de 1).
Dacă scădem aceste două sume, obținem:
(1 + 1 + 1 + ... + 1) - (1 + 1 + 1 + ... + 1) = 0
Deoarece diferența este 0, înseamnă că numărul 111...11a (cu 2023 de cifre de 1) este divizibil cu 13 indiferent de valoarea cifrei a.
